$a\heartsuit 1\geq1\heartsuit a$

Schreibe das Herz wie definert um.

$a+1^2\geq1+a^2$

Suche ein $a$, sodass die rechte Seite größer ist als die linke Seite.

z.B. $a=7$

$7+1^2\geq1+7^2$

Rechne beide Seiten aus.

$8\geq50$

Das ist eine falsche Ungleichung.

$\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

$a\heartsuit 1<1\heartsuit a$

Schreibe das Herz wie definiert um.

$a+1^2<1+a^{2\ \ \ }|-1$ 

$a<a^2$

Suche ein $a$, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.

z.B. $a=0{,}5$

$0{,}5<0{,}5^2$

Berechne $0{,}5^2$

$0{,}5<0{,}25$

Diese Ungleichung ist falsch.

$a\heartsuit\;1\geq1\heartsuit\;a$

Schreib das Herz wie definert um.

$a+1^2\geq1+a^2 |-1$

$a\geq a^2$

Suche ein $a$, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.

z.B. $a=0{,}5$

$0{,}5\ge 0{,}5^2$

Rechne aus.

$0{,}5 \geq 0{,}25$

Dies Ungleichung ist wahr, es gibt also ein $a$, das die Ungleichung erfüllt.

$x\heartsuit y=10$

Schreibe Herz wie definiert um.

$x+y^2=10$

Löse nach $y²$ auf.

$y^2=10-x$

Probiere verschiedene $y$ aus. Dabei bietet sich die Reihenfolge $0{,}1,2,…$ an.

$0^2=0=10-x\Rightarrow x=10$

$(10{,}0)$ ist also ein gesuchtes Paar.

$1^2=1=10-x\Rightarrow x=9$

$(9{,}1)$ ist das zweite Paar.

$2^2=4=10-x\Rightarrow x=6$

$(6{,}2)$ ist das dritte Paar.

$3^2=9=10-x\Rightarrow x=1$

$(1{,}3)$ ist das vierte Paar.

$4^2=16=10-x\;\Rightarrow x=-6\;\not\in\mathbb{N}_0$

Für $y=4$ und auch alle größeren $y$ muss $x$ negativ werden. Da das aber nicht erlaubt ist, gibt es genau die vier gefundenen Paare.