$a♡1\ge 1♡a$

Schreibe das Herz wie definert um.

$a+1^2\ge 1+a^2$

Suche ein $a$, sodass die rechte Seite größer ist als die linke Seite.

z.B. $a=7$

$7+1^2\ge 1+7^2$

Rechne beide Seiten aus.

$8\ge 50$

Das ist eine falsche Ungleichung.

$\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

$a♡1<1♡a$

Schreibe das Herz wie definiert um.

$a+1^2<1+a^2|-1$ 

$a<a^2$

Suche ein $a$, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.

z.B. $a=\mathrm{0,5}$

$\mathrm{0,5}<{\mathrm{0,5}}^2$

Berechne ${\mathrm{0,5}}^2$

$\mathrm{0,5}<\mathrm{0,25}$

Diese Ungleichung ist falsch.

$a♡1\ge 1♡a$

Schreib das Herz wie definert um.

$a+1^2\ge 1+a^2|-1$

$a\ge a^2$

Suche ein $a$, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.

z.B. $a=\mathrm{0,5}$

$\mathrm{0,5}\ge {\mathrm{0,5}}^2$

Rechne aus.

$\mathrm{0,5}\ge \mathrm{0,25}$

Dies Ungleichung ist wahr, es gibt also ein $a$, das die Ungleichung erfüllt.

$x♡y=10$

Schreibe Herz wie definiert um.

$x+y^2=10$

Löse nach $y^2$ auf.

$y^2=10-x$

Probiere verschiedene $y$ aus. Dabei bietet sich die Reihenfolge $\mathrm{0,1,2},\dots$ an.

$0^2=0=10-x\Rightarrow x=10$

$(\mathrm{10,0})$ ist also ein gesuchtes Paar.

$1^2=1=10-x\Rightarrow x=9$

$(\mathrm{9,1})$ ist das zweite Paar.

$2^2=4=10-x\Rightarrow x=6$

$(\mathrm{6,2})$ ist das dritte Paar.

$3^2=9=10-x\Rightarrow x=1$

$(\mathrm{1,3})$ ist das vierte Paar.

$4^2=16=10-x\Rightarrow x=-6\in ̸{\mathbb{N}}_0$

Für $y=4$ und auch alle größeren $y$ muss $x$ negativ werden. Da das aber nicht erlaubt ist, gibt es genau die vier gefundenen Paare.