Knobelaufgaben

$a\heartsuit 1\geq1\heartsuit a$

Schreibe das Herz wie definert um.

$a+1^2\geq1+a^2$

Suche ein $a$, sodass die rechte Seite größer ist als die linke Seite.

z.B. $a=7$

$7+1^2\geq1+7^2$

Rechne beide Seiten aus.

$8\geq50$

Das ist eine falsche Ungleichung.

$\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

$a\heartsuit 1<1\heartsuit a$

Schreibe das Herz wie definiert um.

$a+1^2<1+a^{2\ \ \ }|-1$ 

$a<a^2$

Suche ein $a$, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.

z.B. $a=0{,}5$

$0{,}5<0{,}5^2$

Berechne $0{,}5^2$

$0{,}5<0{,}25$

Diese Ungleichung ist falsch.

$a\heartsuit\;1\geq1\heartsuit\;a$

Schreib das Herz wie definert um.

$a+1^2\geq1+a^2 |-1$

$a\geq a^2$

Suche ein $a$, so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.

z.B. $a=0{,}5$

$0{,}5\ge 0{,}5^2$

Rechne aus.

$0{,}5 \geq 0{,}25$

Dies Ungleichung ist wahr, es gibt also ein $a$, das die Ungleichung erfüllt.

$x\heartsuit y=10$

Schreibe Herz wie definiert um.

$x+y^2=10$

Löse nach $y²$ auf.

$y^2=10-x$

Probiere verschiedene $y$ aus. Dabei bietet sich die Reihenfolge $0{,}1,2,…$ an.

$0^2=0=10-x\Rightarrow x=10$

$(10{,}0)$ ist also ein gesuchtes Paar.

$1^2=1=10-x\Rightarrow x=9$

$(9{,}1)$ ist das zweite Paar.

$2^2=4=10-x\Rightarrow x=6$

$(6{,}2)$ ist das dritte Paar.

$3^2=9=10-x\Rightarrow x=1$

$(1{,}3)$ ist das vierte Paar.

$4^2=16=10-x\;\Rightarrow x=-6\;\not\in\mathbb{N}_0$

Für $y=4$ und auch alle größeren $y$ muss $x$ negativ werden. Da das aber nicht erlaubt ist, gibt es genau die vier gefundenen Paare.

Die größte Zahl ist also:

Wir erlauben keine Zahlen, die mit einer 0 beginnen, da man eine solche Darstellung für gewöhnlich nicht verwendet.

Eine 0 als Anfangsziffer sei nicht erlaubt. Demnach ist die kleinste Zahl:

Für eine größte ungerade Zahl, versuchen wir von der größten Zahl 885510 möglichst kleine Ziffern zu vertauschen, um die Zahl um möglichst wenig zu verkleinern. Die beiden kleinsten Ziffern 0 und 1 lösen das bereits:

Für eine kleinste Gerade Zahl, versuchen wir ähnlich wie bei der größten Zahl möglichst die Einer- oder Zehnerziffer zu vertauschen, um die Zahl um möglichst wenig zu vergrößern. Da die Zahl dabei ungerade werden soll, ist die kleinst mögliche Lösung:

Die Lösung ist also:

Für eine größte Zahl suchen wir die größte Anfangsziffer der Zahlenkarten, bei mehreren gleichen muss auch die zweite Ziffer möglichst groß sein , bzw. wenn das Zahlenkärtchen keine weiteren Zahlen mehr hat die größte Anfangsziffer einer noch nicht verwendeten Zahlenkarte.

Sollten auch weitere Ziffern gleich sein, werden auch noch weitere Zeiffern betrachtet.

Die größte Anfangsziffer ist die 4. Möglich wären also 4 oder 41. Da nach der 4 die nächstmögliche Ziffer wieder die 4 der 41 ist und diese größer ist als die 1 der 41 beginnen wir mit 4…

Führt man dieses System weiter erhält man $\left[4\right]\left[41\right]\left[2\right]\left[18\right]\left[173\right]\left[0\right]$ , also

Analog sucht man bei der kleinsten Zahl die kleinsten Anfangsziffern, wobei 0 nicht erlaubt sei.

Nach ähnlichem System erhält man dann:

Zahlen werden für gewöhnlich nicht mit einer 0 als Anfangsziffer dargestellt.

Für eine größte Zahl suchen wir die größte Anfangsziffer der Zahlenkarten, bei mehreren gleichen muss auch die zweite Ziffer möglichst groß sein , bzw. wenn das Zahlenkärtchen keine weiteren Zahlen mehr hat, die größte Anfangsziffer einer noch nicht verwendeten Zahlenkarte. Hier sind die Ziffern nur 0 und 9, was das System vereinfacht.

Sollten auch weitere Ziffern gleich sein, werden auch noch weitere Zeiffern betrachtet.

Führt man dieses System aus erhält man:

Analog sucht man bei der kleinsten Zahl die kleinsten Anfangsziffern.

Nach ähnlichem System erhält man dann:

Für eine größte Zahl suchen wir die größte Anfangsziffer der Zahlenkarten, bei mehreren gleichen muss auch die zweite Ziffer möglichst groß sein, bzw. wenn das Zahlenkärtchen keine weiteren Zahlen mehr hat, die größte Anfangsziffer einer noch nicht verwendeten Zahlenkarte.

Sollten auch weitere Ziffern gleich sein, werden auch noch weitere Ziffern betrachtet.

Die größte Ziffer ist die 9. Also nehmen wir dieses Zahlenkärtchen. Danach ist die größte Ziffer die 5, wobei nach dem Kärtchen 5 wieder eine 5 möglich ist, die zweite Ziffer der 52 ist die 2, kleiner als 5…

Führt man dieses System weiter, erhält man  $\left[9\right]\left[5\right]\left[52\right]\left[17\right]\left[104\right]\left[0\right]$ , also 9552171040.

Hier wollen wir aber eine möglichst kleine Zahl, deshalb wählen wir als Anfangsziffern auch möglichst kleine Kärtchen.

Eine 0 als Anfangsziffer wird ignoriert und sei deshalb nicht erlaubt. Also ist die kleinste Ziffer die 1. Möglich wären entweder 17 oder 104. 0 ist kleiner als 7, also beginnen wir mit 107

Eine Lösung wäre 9552171040 die größte Zahl aus Teilaufgabe a).

Das System für diese Teilaufgabe ist ähnlich dem der vorherigen Teilaufgabe.

Führt man dieses System aus, erhält man  $\left[104\right]\left[0\right]\left[17\right]\left[5\right]$ , also 1040175.

Führt man dieses System aus, erhält man 95521040.

Das System für diese Teilaufgabe ist ähnlich dem der vorherigen Teilaufgaben und wird hier nicht mehr ausführlich aufgeführt.

Es muss allerdings beachtet werde, dass die Quersumme 21 ergibt. Sollten ein oder mehrere Zahlenplättchen nicht zulässig sein, muss man von hinten her versuchen, die Zahl doch noch zulässig zu machen und die Zahl dabei um möglichst wenig zu verkleinern.

Führt man dieses System aus, erhält man 9521040, als größte Zahl mit Quersumme 9+5+2+1+0+4+0 = 21.

Das System für diese Teilaufgabe ist ähnlich dem der vorherigen Teilaufgaben und wird hier nicht mehr im Detail aufgeführt.

Zuerst müssen aber die 5 Karten mit kleinsten Zahlen herausgesucht werden. Das sind  0, 5, 9, 17, 52. Die 104 ist um eine Stelle größer als alle anderen Zahlen und wird bei einer kleinsten Zahl nicht benötigt. Danach verwenden das bekannte System.

Man erhält 1705259.

Es gäbe zwei Möglichkeiten. Eine 6 stellige Zahl möglichst groß, oder eine 7 stellige Zahl möglichst klein.

Beide Zahlen lassen sich nach den Systemen der bisherigen Teilaufgaben leicht konstruieren, wobei d sogar genau diese Zahl ist.

Die 6 stellige Zahl ist 955217

Die 7 stellige Zahl ist die Zahl aus Teilaufgabe d: 1040175

Von beiden Zahlen, liegt die zweite Zahl näher an einer Millionen. 

Die Lösung ist also 1040175.

Wir müssen nun die Zahlenkärtchen so ändern, dass die Zahl ungerade ist und möglicht groß bleibt. Dazu schieben wir das Kärtchen am weitesten rechts mit ungerader Endziffer ans Ende und rücken die restlichen Karten nach.

Man erhält:  $\left[9\right]\left[5\right]\left[52\right]\left[104\right]\left[0\right]\left[17\right]$ , also 9552104017.

Was ist die Verschlüsselung von GEIFER?

Zuerst erstellt man die Kodiertabelle, wie in der Angabe beschrieben. Man trägt also erst die Buchstaben B A R T ein und füllt dann den Rest mit den anderen Buchstaben des Alphabets auf.

Kodiertabelle:

B A R T CD E F G HI K L M NO P Q S UV W X Y Z

Als nächstes kann nun das Wort GEIFER verschlüsselt werden. Man teilt es in die Paare GE IF ER auf.

G und E liegen in der selben Zeile. Sie werden durch den jeweils rechts daneben liegenden Buchstaben verschlüsselt

G wird zu H, E wird zu F

I und F liegen weder in der selben Zeile, noch in der selben Spalte. Sie werden also durch die beiden anderen Eckpunkte des Rechtecks bestimmt. Das Rechteck ist D I L F

I wird zu L, F wird zu D

E und R liegen weder in der selben Zeile, noch in der selben Spalte. Sie werden also durch die beiden anderen Eckpunkte des Rechtecks bestimmt. Das Rechteck ist A E F R

E wird zu F, R wird zu A

Was ist die Entschlüsselung von UTDUHK?

Zuerst erstellt man die Kodiertabelle, wie in der Angabe beschrieben. Man trägt also erst die Buchstaben B A R T ein und füllt dann den Rest mit den anderen Buchstaben des Alphabets auf.

Kodiertabelle:

B A R T CD E F G HI K L M NO P Q S UV W X Y Z

Nun gibt es zwei Möglichkeiten, entweder man Verschlüsselt die Antwortmöglichkeiten und prüft, ob das Ergebnis mit UTDUHK übereinstimmt, oder man versucht den Algorithmus rückwärts anzuwenden. Hier wird der 2. Ansatz gezeigt:

Man zerlegt das verschlüsselte Wort in 2er Paare: UT DU HK

U und T liegen weder in der selben Zeile noch in der selben Spalte, sie sind also das Ergebnis des Rechteck-Falls in der Verschlüsselung. Das Rechteck ist T S U C

U wird entschlüsselt zu S, T wird entschlüsselt zu C

D und U liegen weder in der selben Zeile noch in der selben Spalte, sie sind also das Ergebnis des Rechteck-Falls in der Verschlüsselung. Das Rechteck ist D O U H

D wird entschlüsselt zu H, U wird entschlüsselt zu O

H und K liegen weder in der selben Zeile noch in der selben Spalte, sie sind also das Ergebnis des Rechteck-Falls in der Verschlüsselung. Das Rechteck ist E K N H

H wird entschlüsselt zu E, K wird entschlüsselt zu N

Versuche das Wort PUTZ zu verschlüsseln. Erstelle dafür zunächst die Tabelle

Kodiertabelle:

B A R T CD E F G HI K L M NO P Q S UV W X Y Z

Man zerlegt PUTZ in 2er Paare: PU TZ.