Aufgabenstellung
Nachdem die zwei Millionen Flaschen verkauft sind, wird die Werbeaktion fortgesetzt. Der Getränkehersteller verspricht, dass weiterhin jede Flasche eine Gewinnmarke enthält. Aufgrund von Kundenäußerungen vermutet der Filialleiter eines Getränkemarkts jedoch, dass der Anteil der Saftschorle-Flaschen mit einer Gewinnmarke im Verschluss nun geringer als ist, und beschwert sich beim Getränkehersteller.
Lösung
Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten musst du den Ablehnungsbereich der Nullhypothese zum Signifikanzniveau herausfinden. Im zweiten Teil sollst du den Fehler 2. Art bestimmen, für den Fall, dass die Nullhypothese irrtümlich angenommen wird.
Ablehnungsbereich herausfinden
Zunächst definierst du dir die Zufallsgröße aus der Aufgabenstellung:
Anzahl von Gewinnmarken unter Flaschen
Die Zufallsgröße ist laut dem Getränkehersteller binomialverteilt mit dem Parameter (Stichwort: Die Wahrscheinlichkeit einer Gewinnmarke beträgt mindestens ). Die Nullhypothese lautet deshalb:
Beachte: Um den Fehler 1. Art (das Signifikanzniveau) sicher einzuhalten, wählt man implizit im Folgenden .
Es soll gelten, dass die -verteilte Zufallsgröße mit höchstens der Wahrscheinlichkeit von im Ablehnungsbereich liegt. Den Wert von musst du herausfinden. Diese Bedingung lautet mathematisch ausgedrückt:
Nun weißt du, dass nach der Nullhypothese verteilt ist. Es folgt also:
Mit Hilfe des Tafelwerks findest du heraus, dass ist. Der Ablehnungsbereich lautet also .
Fehler 2. Art berechnen
Du liest nun aus der Aufgabenstellung, dass nicht wie oben angenommen verteilt ist, sondern tatsächlich . Du möchtest jetzt wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Nullhypothese von oben trotzdem angenommen wird. Es folgt:
Den letzten Schritt erhältst du wieder mittels des Tafelwerkes.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Getränkemarkt nicht in den Genuss einer kostenlosen Werbeaktion kommt, beträgt also ungefähr Prozent.