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3Lösung 3b

Aufgabenstellung

3.3. Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 39,539{,}5 % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 8585 % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von 3535 % ebenfalls positiv.

 

aa) Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. (4 BE)

bb) Eine aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählte Person wird getestet; das Testergebnis ist positiv. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Person tatsächlich an einer Tierhaarallergie leidet. (2 BE)

Lösung

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis AA für den Fall, dass Ereignis BB schon eingetreten ist. In mathematischer Schreibweise ausdrückt also die bedingte Wahrscheinlichkeit PB(A)P_B(A).

 

Nun gilt per Definition für bedingte Wahrscheinlichkeiten folgende Beziehung:

 

 

Aus dem Baumdiagramm der vorherigen Aufgabe lässt sich P(BA)P(B\cap A) einfach ausrechnen. P(B)P(B) ist bereits bekannt. Es folgt:

 

 

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich an einer Tierallergie leidet, beträgt ungefähr 1919 Prozent.


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