5Aufgabe 4 - Lösung

Lösung Aufgabe $4a$

• Da die Funktion $f$ den Grad $3$ hat, hat die Ableitung $f'$ den Grad $2$, ist also eine Parabel.

• Die Extrempunkte der Funktion $f$ sind die Nullstellen der Ableitung $f'$, deswegen hat $f'$ die Nullstellen $(1|0)$ und $(4|0)$.

• Da der erste Extrempunkt der Funktion ein Hochpunkt ist, steigt der Graph erst und fällt dann, beim Tiefpunkt fällt er erst und steigt dann. Das überträgt sich auf die Ableitungsfunktion und den Graphen $G_{f'}$. Dieser ist erst oberhalb der $x$-Achse vor der ersten Nullstelle, zwischen den Nullstellen unterhalb der $x$-Achse und nach der zweiten Nullstelle wieder oberhalb der $x$-Achse. Deswegen liegt eine nach oben geöffnete Parabel vor.

Lösung Aufgabe $4b$

Der Hochpunkt und der Tiefpunkt sind auf der $x$-Achse $3$ Längeneinheiten auseinander. Genau in der Mitte von einem Hoch und einem Tiefpunkt bei einer ganzrationalen Funktion ist der Wendepunkt. Daraus folgt, dass der Wendepunkt genau in der Mitte zwischen $1$ und $4$ liegen muss, also bei $2{,}5$.