Aufgabenstellung Der Torwart führt den Abstoß aus. Der höchste Punkt der Flugbahn des Ballswird im Modell durch den Punkt H ( 50 ∣ 70 ∣ 15 ) H( 50 | 70 |15) H ( 50∣70∣15 ) beschrieben.
d ) d) d ) Ermitteln Sie eine Gleichung der durch die Punkte W 1 W_1 W 1 , W 2 W_2 W 2 und K 2 K_2 K 2 festgelegten
Ebene E E E in Normalenform und weisen Sie nach, dass H H H unterhalbvon E E E liegt. (7 BE)
(Mögliches Teilergebnis: E : x 2 + 5 x 3 − 150 = 0 E: x_2 +5x_3 - 150=0 E : x 2 + 5 x 3 − 150 = 0 )
Lösung Bestimmung der Ebenengleichung in Koordiantenform Gegeben und ausgerechnet sind die Punkte W 1 ( 0 ∣ 0 ∣ 30 ) W_1(0|0|30) W 1 ( 0∣0∣30 ) , W 2 ( 90 ∣ 0 ∣ 30 ) W_2(90|0|30) W 2 ( 90∣0∣30 ) und K 2 ( 51 ∣ 100 ∣ 10 ) K_2(51|100|10) K 2 ( 51∣100∣10 ) .
Zur Aufstellung einer Ebenengleichung in Koordinatenform benötigst du einen Stützpunkt und zwei Spannvektoren, die von diesem Punkt aus ausgehen und die Ebene aufspannen.
Zum Beispiel suchst du dir den Stützpunkt W 1 W_1 W 1 und die Vektoren, die von diesem Punkt aufgespannt werden.
X → = W 1 → + μ ⋅ W 1 W 2 → + λ ⋅ W 1 K 2 → \overrightarrow{X}=\overrightarrow{W_1} + \mu \cdot \overrightarrow{W_1W_2} + \lambda \cdot \overrightarrow{W_1K_2} X = W 1 + μ ⋅ W 1 W 2 + λ ⋅ W 1 K 2
Rechne dazu die Vektoren W 1 W 2 → \overrightarrow{W_1W_2} W 1 W 2 und W 1 K 2 → \overrightarrow{W_1K_2} W 1 K 2 aus.
W 1 W 2 → = ( 90 0 30 ) − ( 0 0 30 ) = ( 90 0 0 ) \overrightarrow{ W_1W_2}=\begin{pmatrix}90\\0\\30\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix} W 1 W 2 = 90 0 30 − 0 0 30 = 90 0 0
W 1 K 2 → = ( 51 100 10 ) − ( 0 0 30 ) = ( 51 100 − 20 ) \overrightarrow{ W_1K_2}=\begin{pmatrix}51\\100\\10\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}51\\100\\-20\end{pmatrix} W 1 K 2 = 51 100 10 − 0 0 30 = 51 100 − 20
Setze die Werte in die Ebenengleichung in Koordinatenform ein.
X → = ( 0 0 30 ) + μ ⋅ ( 90 0 0 ) + λ ⋅ ( 51 100 − 20 ) \overrightarrow{X}=\begin{pmatrix}0\\0\\30 \end{pmatrix}+ \mu \cdot \begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}51\\100\\-20\end{pmatrix} X = 0 0 30 + μ ⋅ 90 0 0 + λ ⋅ 51 100 − 20
Bestimmung der Ebenengleichung in Normalenform Um von der Koordinatenform zur gesuchten Normalenform zu kommen musst du die folgende Formel anwenden:
E : n E → ∘ [ X → − W 1 → ] = 0 E:\overrightarrow{n_E} \circ [\overrightarrow{X}-\overrightarrow{W_1}]=0 E : n E ∘ [ X − W 1 ] = 0
n 0 → \overrightarrow{n_0} n 0 ist der normierte Normalenvektor . Dieser steht senkrecht zu den beiden Stützvektoren.
W 1 → \overrightarrow{W_1} W 1 ist dein Stützpunkt
Da der Normalenvektor senkrecht auf den Stützpunkt ist, setzt man die Gleichung gleich 0 0 0 .
Aus den beiden Spannvektoren rechnest du deinen Normalenvektor n E → \overrightarrow{n_E} n E aus.
n E → = W 1 W 2 → × W 1 K 2 → = ( 90 0 0 ) × ( 51 100 − 20 ) = ( 0 1800 9000 ) \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}\overrightarrow{n_E} &=& \overrightarrow{W_1W_2} \times \overrightarrow{W_1K_2}\\&=&\begin{pmatrix}90\\0\\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 51\\100\\-20\end{pmatrix}\\&=&\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix}\end{array} n E = = = W 1 W 2 × W 1 K 2 90 0 0 × 51 100 − 20 0 1800 9000
Setze die Vektoren in die Ebenengleichung ein.
E : ( 0 1800 9000 ) ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 ) − ( 0 0 30 ) ] = 0 E:\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\30\end{pmatrix}\right]=0 E : 0 1800 9000 ∘ x 1 x 2 x 3 − 0 0 30 = 0
Rechne das Skalarprodukt aus.
E : ( 0 1800 9000 ) ∘ [ ( x 1 x 2 x 3 − 30 ) ] = 0 E : 1800 ⋅ x 2 + 9000 ⋅ ( x 3 − 30 ) = 0 E : 1800 ⋅ x 2 + 9000 ⋅ x 3 − 270 000 = 0 \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rlll}E:&\begin{pmatrix}0\\1800\\9000\end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3-30\end{pmatrix}\right]&=&0\\E:& 1800\cdot x_2 + 9000\cdot (x_3-30)&=&0\\E:& 1800\cdot x_2 + 9000\cdot x_3 - 270 \ 000 &=&0\end{array} E : E : E : 0 1800 9000 ∘ x 1 x 2 x 3 − 30 1800 ⋅ x 2 + 9000 ⋅ ( x 3 − 30 ) 1800 ⋅ x 2 + 9000 ⋅ x 3 − 270 000 = = = 0 0 0
Kürze die Gleichung durch 1800 1800 1800 damit die großen Zahlen verschwinden.
E : x 2 + 5 x 3 − 150 = 0 E: x_2 + 5x_3 - 150 = 0 E : x 2 + 5 x 3 − 150 = 0
Schon bist du beim Zwischenergebnis. Super! :-)