Sachaufgaben zu linearen Gleichungen

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Ein Auto fährt mit $100 \frac{k m}{h}$ an einer Raststätte los. $10 m i n$ später startet ein Motorrad an derselben Raststätte mit $120 \frac{k m}{h}$ . Wie viele Minuten nach Start des Motorrads überholt das Motorrad das Auto?

min

\begin{array}{l} \begin{array}{l} v_{Auto} = 100 \frac{km}{h} \end{array} \end{array}

v_{Motorrad} = 120 \frac{km}{h}

Nun musst du die zehn Minuten, die das Auto schon vor dem Motorrad gefahren ist, in Stunden umrechnen.

10 \min = 10 \cdot \frac{1}{60} h = \frac{10}{60} h = \frac{1}{6} h

Aufstellung einer Gleichung

Du bezeichnest nun die Zeit, die das Motorrad benötigt, um das Auto zu überholen, als t.

Sowohl das Auto als auch das Motorrad sind bei dem Zeitpunkt der Überholung die selbe Strecke gefahren.

Du kannst also für beide Seiten deiner Gleichung eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit verwenden. Diese muss aber auf beiden Seiten nach der Strecke umgeformt werden, die sowohl das Motorrad, als auch das Auto seit dem Zeitpunkt der Überholung gefahren sind. Auf einer Seite deiner Gleichung verwendest du die Werte zur Geschwindigkeitsberechnung des Autos, auf der anderen Seite die für die Geschwindigkeitsberechnung des Motorrades.

Strecke mit Formel für das Auto

Du kannst mit der umgeformten Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Autos anfangen.Sie wird dann die eine Seite der Gleichung besetzen.

$v_{A u t o}$	$=$	$\frac{S t r e c k e}{\frac{1}{6} h + t}$
$100 \frac{k m}{h}$	$=$	$\frac{S t r e c k e}{\frac{1}{6} h + t}$	$\cdot (\frac{1}{6} h + t)$
$S t r e c k e$	$=$	$100 \frac{k m}{h} \cdot (\frac{1}{6} h + t)$

Strecke mit Formel für das Motorrad

Jetzt kannst du die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Motorrades nach der Strecke umformen. Sie besetzt dann die andere Seite deiner Gleichung.

$v_{M o t o r r a d}$	$=$	$\frac{S t r e c k e}{t}$
$120 \frac{k m}{h}$	$=$	$\frac{S t r e c k e}{t}$	$\cdot t$
$S t r e c k e$	$=$	$120 \frac{k m}{h} \cdot t$

Gleichung "Strecke Motorrad = Strecke Auto"

Nun kannst du die Gleichung aufstellen:

120 \frac{k m}{h} \cdot t = 100 \frac{k m}{h} \cdot (\frac{1}{6} h + t)

Auflösen der Gleichung

Die erhaltene Gleichung muss du jetzt nach der Zeit t auflösen:

$120 \frac{k m}{h} \cdot t$	$=$	$100 \frac{k m}{h} \cdot (\frac{1}{6} h + t)$
	↓	Multipliziere auf der rechten Seite die Klammern aus.
$120 \frac{k m}{h} \cdot t$	$=$	$\frac{100}{6} k m + 100 \frac{k m}{h} \cdot t$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten $100 \frac{k m}{h} \cdot t$
$20 \frac{k m}{h} \cdot t$	$=$	$\frac{100}{6} k m$
	↓	Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $20 \frac{k m}{h}$
$t$	$=$	$\frac{100}{120} h$
$t$	$=$	$\frac{5}{6} h$

Umrechnung von t in Minuten

t = \frac{5}{6} h \cdot 60 \frac{\min}{h} = \frac{300}{6} \min = 50 \min

Antwort:

50 Minuten nach dem Start überholt das Motorrad das Auto.

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