Sachaufgaben zu linearen Gleichungen

Ein Auto fährt mit $100 \; \frac{km}{h}$ an einer Raststätte los. $10 \; min$ später startet ein Motorrad an derselben Raststätte mit $120 \; \frac{km}{h}$ . Wie viele Minuten nach Start des Motorrads überholt das Motorrad das Auto?

min

\displaystyle \def\arraystretch{2} \begin{array}{l}\begin{array}{l}{\mathrm v}_\mathrm{Auto}=100\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm h}\end{array}\end{array}

\displaystyle \;{\mathrm v}_\mathrm{Motorrad}=120\frac{\mathrm{km}}{\mathrm h}

Nun musst du die zehn Minuten, die das Auto schon vor dem Motorrad gefahren ist, in Stunden umrechnen.

\displaystyle 10\;\min=10\cdot\frac1{60}\;\mathrm h=\;\frac{10}{60}\mathrm h\;=\frac16\mathrm h

Aufstellung einer Gleichung

Du bezeichnest nun die Zeit, die das Motorrad benötigt, um das Auto zu überholen, als t.

Sowohl das Auto als auch das Motorrad sind bei dem Zeitpunkt der Überholung die selbe Strecke gefahren.

Du kannst also für beide Seiten deiner Gleichung eine Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit verwenden. Diese muss aber auf beiden Seiten nach der Strecke umgeformt werden, die sowohl das Motorrad, als auch das Auto seit dem Zeitpunkt der Überholung gefahren sind. Auf einer Seite deiner Gleichung verwendest du die Werte zur Geschwindigkeitsberechnung des Autos, auf der anderen Seite die für die Geschwindigkeitsberechnung des Motorrades.

Strecke mit Formel für das Auto

Du kannst mit der umgeformten Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Autos anfangen.Sie wird dann die eine Seite der Gleichung besetzen.

$\displaystyle v_{Auto}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{Strecke}{\dfrac{1}{6}h+t}$
$\displaystyle 100\ \frac{km}{h}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{Strecke}{\dfrac{1}{6}h+t}$	$\displaystyle \cdot\left(\frac{1}{6}h+t\right)$
$\displaystyle Strecke$	$=$	$\displaystyle 100\ \dfrac{km}{h}\cdot\ \left(\dfrac{1}{6}h+t\right)$

Strecke mit Formel für das Motorrad

Jetzt kannst du die Formel zur Berechnung der Geschwindigkeit des Motorrades nach der Strecke umformen. Sie besetzt dann die andere Seite deiner Gleichung.

$\displaystyle v_{Motorrad}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{Strecke}{t}$
$\displaystyle 120\ \frac{km}{h}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{Strecke}{t}$	$\displaystyle \cdot t$
$\displaystyle Strecke$	$=$	$\displaystyle 120\ \dfrac{km}{h}\cdot t$

Gleichung "Strecke Motorrad = Strecke Auto"

Nun kannst du die Gleichung aufstellen:

\displaystyle 120\;\dfrac{\mathrm km}{\mathrm h}\cdot\mathrm t=100\;\dfrac{\mathrm km}{\mathrm h}\cdot\left(\frac16\;\mathrm h+\mathrm t\right)

Auflösen der Gleichung

Die erhaltene Gleichung muss du jetzt nach der Zeit t auflösen:

$\displaystyle 120\ \dfrac{km}{h}\cdot t$	$=$	$\displaystyle 100\ \dfrac{km}{h}\cdot\left(\dfrac{1}{6}h+t\right)$
	↓	Multipliziere auf der rechten Seite die Klammern aus.
$\displaystyle 120\ \dfrac{km}{h}\cdot t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{100}{6}km\ +\ 100\ \dfrac{km}{h}\cdot t$
	↓	Subtrahiere auf beiden Seiten $\displaystyle 100\;\dfrac{\mathrm km}{\mathrm h}\cdot\mathrm t$
$\displaystyle 20\ \dfrac{km}{h}\cdot t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{100}{6}km$
	↓	Dividiere beide Seiten der Gleichung durch $\displaystyle 20\;\dfrac{\mathrm km}{\mathrm h}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{100}{120}h$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \dfrac{5}{6}h$

Umrechnung von t in Minuten

\displaystyle \mathrm{t}=\frac{5}{6}\mathrm{h}\cdot60\frac{\min}{\mathrm{h}}=\frac{300}{6}\min=50\min

Antwort:

50 Minuten nach dem Start überholt das Motorrad das Auto.

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