8Beweis der Irrationalität von Wurzel 2 (2/3)

Was haben wir bis jetzt gezeigt?

$z^2=2\cdot n^2$

$z$ ist durch 2 teilbar

Wir wollen als Nächstes zeigen, dass auch $n$ gerade ist. Da $z$ gerade ist, gibt es eine ganze Zahl $r$ , sodass wir $z$ wie folgt schreiben können:

$z=2\cdot r$

Wir setzen $2\cdot r$ für $z$ in die obige Gleichung ein:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}z^2&=2\cdot n^2 \\\ (2\cdot r)^2&=2\cdot n^2\\\ 4\cdot r^2&=2\cdot n^2 \quad\quad\quad|:2\\\ 2\cdot r^2&=n^2\end{aligned}$

$2\cdot r^2$ ist eine gerade Zahl, weil man sie durch zwei teilen kann. Somit ist auch $n^2$ gerade.

Wie auf der vorherigen Seite gezeigt wurde, ist $n^2$ gerade, wenn $n$ gerade ist.

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