Zeichnen der Funktion

Die Wertetabelle füllst du aus, indem du die Werte für $x$ in die Funktion $y=90\cdot {\mathrm{0,94}}^x$ einsetzt und den Wert im Taschenrechner berechnest. Anschließend sollst du die Werte noch auf zwei Nachkommastellen runden.

Du solltest auf die folgenden Ergebnisse kommen:

Anschließend zeichnest du für jeden Tabelleneintrag einen Punkt in das Koordinatensystem ein. Die $x$- und $y$-Werte kannst du direkt ablesen.

Untersuchung des Wachstumsfaktors

Aus dem Kapitel zu Exponentialfunktionen weißt du, dass $\mathrm{0,94}$ der Wachstumsfaktor der Funktion ist. Da dieser $<1$ ist, liegt eine Abnahme vor. Das kannst du auch an der Abbildung erkennen. Die Dezimalzahl $\mathrm{0,94}$ entspricht $94\%$. Nach $x$ Minuten beträgt die Temperatur also nur noch $94\%$ der Temperatur, die nach $x-1$ Minuten gemessen wurde. Sie nimmt also um $6\%$ ab.

Graphische Lösung

Die Funktion $f(x)=90\cdot {\mathrm{0,94}}^x$ gibt die Temperatur nach $x$ Minuten an. Um die Anzahl an Minuten am Graphen ablesen zu können benötigst du eine Gerade bei $y=40$. Dort wo diese deine Funktion $f(x)$ trifft liest du den $x$-Wert ab. Dieser $x$-Wert bezeichnet die Anzahl der Minuten.

Der Schnittpunkt hat den $x$-Wert $13$. Somit ist die Temperatur des Getränks nach ca. $13\text{min}$ auf ${40}^{\circ }\text{C}$ abgesunken.

Berechnung des Wachstumsfaktors

Da die ${\mathrm{0,94}}^x$ den Wachstumsfaktor nach $x$ Minuten angibt, reicht es, die $6$ für das $x$ einzusetzen. ${\mathrm{0,94}}^6\approx \mathrm{0,69}$. Daraus ergibt sich sofort der Wachstumsfaktor $\mathrm{0,69}$, also eine Abnahme um $31\%$ (siehe Teilaufgabe b). Warum ist dies so? Man könnte die Rechnung auch durchführen $f(6)=90\cdot {\mathrm{0,94}}^6\approx \mathrm{62,09}$. Nach $6$ Minuten beträgt die Temperatur also etwa ${\mathrm{62,09}}^{\circ }\text{C}$. Um den prozentualen Anteil auszurechnen, muss man die übrige Temperatur also durch die Anfangstemperatur teilen. $\mathrm{62,09}/90\approx \mathrm{0,69}$. Man multipliziert also anfangs mit der $90$, später teilt man wieder durch $90$, um den Wachstumsfaktor auszurechnen, reicht es also ${\mathrm{0,96}}^6$ zu berechnen.