Teil A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Aufgaben

Ein %%90°C%% heißes Getränk wird zur Abkühlung ins Freie gestellt. Nach %%x%% Minuten beträgt die Temperatur des Getränks %%y°C%%. Die Funktion %%f%% mit der Gleichung %%y=90\cdot 0,94^x%% mit %%\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}%% beschreibt näherungsweise den Abkühlvorgang in den ersten %%20%% Minuten.

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Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen zu %%f%% in das Koordinatensystem ein.

Zeichnen der Funktion

Die Wertetabelle füllst du aus, indem du die Werte für %%x%% in die Funktion %%y=90\cdot 0,94^x%% einsetzt und den Wert im Taschenrechner berechnest. Anschließend sollst du die Werte noch auf zwei Nachkommastellen runden.

Du solltest auf die folgenden Ergebnisse kommen:

Anschließend zeichnest du für jeden Tabelleneintrag einen Punkt in das Koordinatensystem ein. Die %%x%%- und %%y%%-Werte kannst du direkt ablesen.

Verbinde diese Punkte anschließend möglichst fließend. Zeichne den Graphen noch ein Stück über den letzten Punkt hinaus!

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Geben Sie an, um wie viel Prozent das Getränk pro Minute kälter wird.

Untersuchung des Wachstumsfaktors

Aus dem Kapitel zu Exponentialfunktionen weißt du, dass %%0,94%% der Wachstumsfaktor der Funktion ist. Da dieser %%<1%% ist, liegt eine Abnahme vor. Das kannst du auch an der Abbildung erkennen. Die Dezimalzahl %%0,94%% entspricht %%94 \% %%. Nach %%x%% Minuten beträgt die Temperatur also nur noch %%94 \% %% der Temperatur, die nach %%x-1%% Minuten gemessen wurde. Sie nimmt also um %%6 \%%% ab.

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Ermitteln Sie mithilfe des Graphen zu %%f%%, nach wie vielen Minuten die Temperatur des Getränks noch %%40\, °C%% beträgt

Graphische Lösung

Die Funktion %%f(x)=90\cdot 0,94^x%% gibt die Temperatur nach %%x%% Minuten an.
Um die Anzahl an Minuten am Graphen ablesen zu können benötigst du eine Gerade bei %%y=40%%. Dort wo diese deine Funktion %%f(x)%% trifft liest du den %%x%%-Wert ab. Dieser %%x%%-Wert bezeichnet die Anzahl der Minuten.

Der Schnittpunkt hat den %%x%%-Wert %%13%%.
Somit ist die Temperatur des Getränks nach ca. %%13 \, \text{min}%% auf %%40 \, °C%% abgesunken.

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Um wie viel Prozent ist die Temperatur des Getränkes nach sechs Minuten insgesamt gesunken? Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an.

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Leider nein. Probier's nochmal!

Richtig!

Berechnung des Wachstumsfaktors

Da die %%0,94^x%% den Wachstumsfaktor nach %%x%% Minuten angibt, reicht es, die %%6%% für das %%x%% einzusetzen. %%0,94^6 \approx 0,69%%. Daraus ergibt sich sofort der Wachstumsfaktor %%0,69%%, also eine Abnahme um %%31\% %% (siehe Teilaufgabe b). Warum ist dies so? Man könnte die Rechnung auch durchführen %%f(6)=90 \cdot 0,94^6\approx62,09%%. Nach %%6%% Minuten beträgt die Temperatur also etwa %%62,09^{\circ} C%%. Um den prozentualen Anteil auszurechnen muss man die übrige Temperatur also durch die Anfangstemperatur teilen. %%62,09/90\approx0,96%%. Man multipliziert also anfangs mit der %%90%%, später teilt man wieder durch %%90%%, um den Wachstumsfaktor auszurechnen reicht es also %%0,96^6%% zu berechnen.

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Das Rechteck %%ABCD%% mit %%\overline{AB}=12\;\text{cm}%% und %%\overline{BC}=7\;\text{cm}%% ist die Grundfläche der Pyramide %%ABCDS%% (siehe Zeichnung). Die Spitze %%S%% liegt senkrecht über dem Mittelpunkt %%E%% der Strecke %%[AD]%% mit %%\overline{ES}=7\;\text{cm}%%. Der Punkt %%F%% ist der Mittelpunkt der Strecke %%[BC]%%.
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

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Berechnen Sie das Maß %%\varphi%% des Winkels %%SFE%% sowie die Länge der Strecke %%[FS]%%.

[Ergebnisse: %%\varphi=30,26°%%, %%\overline {FS}=13,89\;\text{cm}%%]

Berechnung des Winkels

Zu betrachten ist das Dreieck %%SFE%%. Überlege dir welche Seiten gegeben sind und beachte, dass bei %%E%% ein rechter Winkel liegt. Daran erkennst du, dass von %%\varphi%% aus betrachtet die Gegenkathete und Ankathete gegeben sind und du den Tangens benötigst, um den Winkel zu berechnen.

%%\begin{align} \tan \, \varphi &= \dfrac{7} {12} \hspace{2cm} \\ \varphi&=\tan^{-1}(\dfrac{7} {12})\\ &\approx 30,256° \approx 30,26° \end{align}%%

%%|\; \tan^{-1}(.)%%

Berechnung der Streckenlänge

Um die Strecke %%[SF]%% zu berechnen benötigst du den Satz des Pythagoras. %%[SF]%% liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist somit Hypothenuse.

%%\overline{SF}^2 = \overline{ES}^2 + \overline{EF}^2 \hspace{2cm}%%

%%\begin{align} \overline{SF} &= \sqrt{\overline{ES}^2 + \overline{EF}^2} \\ &= \sqrt{(7cm)^2 + (12cm)^2} \\ &= \sqrt{193} \approx 13,89 \, \text{cm} \end{align}%%

%%|\sqrt{.}%%

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Der Punkt %%P%% liegt auf der Strecke %%[EF]%% mit %%\overline{EP} = 5\;\text{cm}%%. Für Punkte %%M_{n}%% auf der Strecke%%[FS]%% gilt: %%\overline {FM_{n}}(x)=x \;\text{cm}%% mit %%x<13,89%% und %%x\in\mathbb{R}^+%%. Die Punkte %%M_{n}%% sind die Mittelpunkte von Strecken %%[Q_{n}%% %%R_{n}]%% mit %%R_{n}\in[CS]%%, %%Q_{n}\in[BS]%% und %%[Q_{n}%% %%R_{n}] \;||\; [BC]%%. Die Punkte %%P%%, %%R_{n}%% und %%Q_{n}%% sind die Eckpunkte von Dreiecken %%PR_{n}Q_{n}%%. Zeichnen Sie das Dreieck %%PR_{1}Q_{1}%% für %%x=3%% in das Schrägbild zu %%2a)%% ein.

Zeichnen des Schrägbilds

Zunächst sollte man den Punkt %%P%% durch Abmessen einzeichnen. Da sich das Dreieck %%SFE%% in der Zeichenebene befindet (%%S%% liegt senkrecht über %%E%%), kann man auch %%M_{1}%% durch Abmessen einzeichnen. Laut Angabe ist %%\overline{FM_{1}} = 3\;\text{cm}%%. Die Strecke %%[Q_{1}R_{1}]%% ist parallel zu %%[BC]%%.

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Der Punkt %%M_{2}%% auf der Strecke %%[FS]%% liegt senkrecht über dem Punkt %%P%%.
Zeichnen Sie %%M_{2}%% und das Dreieck %%PR_{2}Q_{2}%% in das Schrägbild zu %%2a)%% ein. Bestimmen Sie sodann durch Rechnung den zugehörigen Wert für %%x%% und die Länge der Strecke %%[R_{2}Q_{2}]%%.

[Ergebnis: %%\overline {R_{2}Q_{2}} = 2,92 \;\text{cm}%%]

Dreieck einzeichnen

Wieder gilt, dass das Dreieck %%SFE%% in der Zeichenebene liegt. Daher zeichnet man zunächst die senkrechte Strecke %%[PM_{2}]%% durch Messung des rechten Winkels ein. %%[Q_{2}R_{2}]%% ist wieder parallel zu %%[BC]%%.

Gesucht ist die Länge Strecke %%\overline{FM_2}=x%%. Das Dreieck %%M_2PF%% ist rechtwinklig, außerdem sind die Strecke %%\overline{PF}=7\,\text{cm}%% und der Winkel %%\varphi=30,26^{\circ}%% gegeben. Die Strecke %%[FM_2]%% ist dabei die Hypotenuse und somt ergibt sich aus der Formel des Sinus:

%%\cos (30,26^{\circ})=\dfrac{7\,\text{cm}}{x}%%

%%\Rightarrow%% %%x=\dfrac{7\,\text{cm}}{\cos(30,26^{\circ})}\\\approx 8,10\,\text{cm}%%

Streckenlänge berechnen

Um die Länge der Strecke %%\overline{R_2Q_2}%% zu berechnen, benötigt man den Strahlensatz.

%%\dfrac{\overline{R_2Q_2}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{SM_2}}{\overline{SF}}%%

%%\dfrac{\overline{R_2Q_2}}{7\;\text{cm}}=\dfrac{13,89\;\text{cm}-8,10\;\text{cm}}{13,89\;\text{cm}} \hspace{2cm}%% |%%\cdot7\;\text{cm}%%

%%\overline{R_2Q_2}=2,92\;\text{cm}%%

Die Länge der Strecke %%\overline{R_2Q_2}%% ist also %%2,92\;\text{cm}%%.

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Das Dreieck %%PR_{2}Q_{2}%% ist die Grundfläche der Pyramide %%PR_{2}Q_{2}F%%.
Ermitteln Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide %%PR_{2}Q_{2}F%% am Volumen der Pyramide %%ABCDS%%.

Bei dieser Aufgabe sollst du das Volumen der Pyramide %%PR_2Q_2F%% und den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide %%PR_2Q_2F%% zu der Pyramide %%ABCDS%% bestimmen.

Das Volumen einer Pyramide bestimmst du durch %%V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h%% mit der Grundfläche %%G%% und der Höhe %%h%%.

Die Grundfläche %%G%% ist hier das Dreieck %%PR_2Q_2%%. Die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

%%A_D=\dfrac12 \cdot g \cdot h%%

Die Länge der Grundseite %%g%% dieses Dreiecks ist gegeben durch %%\overline{Q_2R_2}=2,92\; \text{cm}%%, wie du bereits in Teilaufgabe c) berechnet hast.

Die zweite Größe die zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks nötig ist ist seine Höhe %%\hat{h}%% (Achtung: Hier ist nicht die Höhe %%h%% der Pyramide %%PR_2Q_2F%% gemeint, sondern die Höhe %%\hat{h}%% des Dreiecks %%PR_2Q_2%%). Diese Höhe entspricht genau der Länge der Strecke %%[M_2P]%%. Mit Hilfe des Satzes von Pythagoras erhältst du:

%%\overline{M_2P} = \sqrt{\overline{FM_2}^2 -\overline{PF}^2} = \sqrt{(8,1\text{cm})^2 - (7\text{cm})^2}\approx 4,07\text{cm}%%

Durch Einsetzen der berechneten Größen erhältst du nun für die Grundfläche der Pyramide, die dem Flächeninhalt des Dreiecks entspricht:

%%\begin{align} G &= \frac{1}{2} \cdot \overline{Q_2R_2} \cdot \overline{M_2P} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2,92 \text{cm} \cdot \sqrt{(8,1\text{cm})^2 - (7\text{cm})^2} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2,92 \text{cm} \cdot 4,07 \text{cm} \\ &= 5,95 \text{cm}^2 \end{align}%%

Zur Berechnung des Volumens der Pyramide benötigst du nun noch ihre Höhe %%h%%. Diese ist gegeben durch %%\overline{PF} = 7\text{cm}%%.

Für das Volumen der Pyramide %%PR_2Q_2F%% ergibt sich also
%%\begin{align} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\ &= \frac{1}{3} \cdot 5,95 \text{cm}^2 \cdot 7\text{cm} \\ &= 13,88 \text{cm}^3 \end{align}%%

Für die Pyramide %%ABCDS%% ergibt sich
%%\begin{align} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\ &= \frac{1}{3} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{ES}\\ &= \frac{1}{3} \cdot 12\text{cm} \cdot 7\text{cm} \cdot 7\text{cm} \\ &= 196 \text{cm}^3 \end{align}%%

%%\frac{V_{PR_2Q_2F}}{V_{ABCDS}} = \frac{13,88 \text{cm}^3}{196 \text{cm}^3} = 0,0708%%

Der prozentuale Anteil entspricht also %%7,08 \% %%.

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Die Figur %%ABCD%% dient als Schnittvorlage für eine Glasscheibe (siehe Skizze).

Der Kreisbogen %%CD%% hat den Punkt %%B%% als Mittelpunkt und den Radius %%r=\overline{BC}%%.
Es gilt:

%%\overline{AB}=50,0\, \text{cm}%%

%%\overline{BC}=60,0 \, \text{cm}%%

%%\sphericalangle \; CBA = 90^{\circ}%%

%%\sphericalangle \; BAD = 120^{\circ}%%

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

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Berechnen Sie die Länge der Strecke %%[DA]%%.

[Teilergebnis: %%\sphericalangle \; DBA = 13,8^{\circ}%%; Ergebnis: %%[DA]=16,5\, \text{cm}%%]

Berechnung der Strecke %%\overline{DA}%%

Zeichne dir zunächst alle bekannten Größen in die Skizze ein.

Betrachte anschließend das Dreieck %%ABD%% mit den eingezeichneten Winkeln.

Du kennst bereits die Strecken %%\overline{AB}%% und %%\overline{BC}%%. Außerdem weißt du, dass der Punkt %%C%% mit %%D%% durch einen Kreisbogen verbunden wird, dessen Mittelpunkt bei %%B%% liegt.

Aus diesem Grund, weißt du, dass der Radius des Kreises %%r=\overline{BC}=60,0 \, \text{cm}%% gleich lang ist wie %%\overline{BD}%%, da auch das der Radius des Kreises ist.

Anschließend kannst du über den Sinussatz den Winkel %%\sphericalangle BDA%% berechnen um dann damit über die Innenwinkelsumme des Dreiecks auf den Winkel %%\sphericalangle DAB%% zu kommen.

Stelle den Sinussatz für die Seiten %%BD%% und %%AB%% und die dazugehörigen Winkel auf.

%%\dfrac{60,0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} = \dfrac{50,0 \, \text{cm}}{\text{sin}(\sphericalangle BDA)}%%

Stelle diese Gleichung um, so dass du den Winkel %%\sphericalangle BDA%% berechnen kannst.

%%\dfrac{60,0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} = \dfrac{50,0 \, \text{cm}}{\text{sin}(\sphericalangle BDA)}\hspace{3cm} |\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA)%%

%%\dfrac{60,0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA) = 50,0 \, \text{cm}\hspace{1,3cm} |\cdot\dfrac{\text{sin}(120^{\circ})}{60,0 \, \text{cm}}%%

%%\text{sin}(\sphericalangle BDA)= \dfrac{50,0 \, \text{cm}}{60,0 \, \text{cm}}\cdot \text{sin}(120^{\circ}) \hspace{1,3cm}|\; \text{sin}^{-1}(…)%%

%%\sphericalangle BDA = \text{sin}^{-1} \left( \dfrac{50,0 \, \text{cm}}{60,0 \, \text{cm}}\cdot \text{sin}(120^{\circ}) \right) = 46,2^{\circ}%%

Berechne nun anhand der Innenwinkelsumme von %%ABD%% den Winkel %%\sphericalangle ABD%%.

%%\sphericalangle ABD = 180^{\circ} - 120^{\circ}-46,2^{\circ} = 13,8^{\circ}%%

Da du nun alle Winkel und die zwei der drei Strecken kennst, kannst du wiederum über den Sinussatz die Seite %%\overline{DA}%% berechnen.

%%\dfrac{60,0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}= \dfrac{\overline{DA}}{\text{sin}(13,8^{\circ})}%%

Forme diese Gleichung nach der Strecke %%\overline{DA}%% um.

%%\dfrac{60,0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}= \dfrac{\overline{DA}}{\text{sin}(13,8^{\circ})} \hspace{2cm}|\cdot \text{sin}(13,8^{\circ})%%

%%\overline{DA} =\dfrac{60,0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} \cdot \text{sin}(13,8^{\circ}) = 16,5\, \text{cm}%%

Die Strecke %%\overline{DA}%% ist %%16,5 \, \text{cm}%% lang.

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Die Glasscheibe wird aus einer quadratischen Glasplatte herausgeschnitten. Dazu bewegt sich ein Laserschneider mit einer Geschwindigkeit von %%30\, \text{cm}%% pro Sekunde entlang des Kreisbogens %%CD%% und der Strecke %%[DA]%%.
Berechnen Sie die hierfür benötigte Zeit.

Benötigte Zeit des Laserschneiders

Der Laserschneider fährt zwei Strecken ab. Einmal die bereits bekannte Strecke %%[DA]%% und zum anderen den Kreisbogen von %%C%% nach %%D%%.

Aus diesem Grund musst du zuerst diese Strecke herausfinden.

Dafür benötigst du die Formel für den Kreisbogen.

%%CD = 2 \pi r \cdot \dfrac{\sphericalangle CBD}{360°}%%

Den Winkel %%\sphericalangle DBC%% erhältst du über die Subtraktion des rechten Winkels und des Winkels %%\sphericalangle DBA%%.

%%CD = 2 \pi \cdot 60,0\, \text{cm} \cdot \dfrac{90^{\circ}-13,8^{\circ}}{360°} = 79,8 \, \text{cm}%%

Addiere die beiden Strecken %%CD%% und %%\overline{DA}%% um die gesamte Strecke des Laserschneiders zu bekommen.

%%CD + \overline{DA} = 79,8 \, \text{cm} + 16,5 \, \text{cm} = 96,3 \, \text{cm}%%

Diese Strecke wird vom Laserschneider in der Geschwindigkeit %%v=30 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}%% abgefahren.
Stelle die Formel für die Geschwindigkeit (%%v= \frac{s}{t}%%) nach der Zeit um und setze ein!

%%v= \dfrac{s}{t} \hspace{2cm} | \cdot t \hspace{0,5cm} |: v%%

%%t = \dfrac{s}{v}%%

%%t= \dfrac{96,3 \, \text{cm}}{30 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}} = 3,2 \, \text{s}%%

Der Laserschneider braucht für diese Strecke %%3,2%% Sekunden.

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