Teil A

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein $90^\circ\;\text{C}$ heißes Getränk wird zur Abkühlung ins Freie gestellt. Nach $x$ Minuten beträgt die Temperatur des Getränks $y^\circ\;\text{C}$ . Die Funktion $f$ mit der Gleichung $y=90\cdot 0{,}94^x$ mit $\mathbb{G}=\mathbb{R}_0^+ \times \mathbb{R}$ beschreibt näherungsweise den Abkühlvorgang in den ersten $20$ Minuten.
1. Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen zu $f$ in das Koordinatensystem ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen zeichnen
  Zeichnen der Funktion
  Die Wertetabelle füllst du aus, indem du die Werte für $x$ in die Funktion $y=90\cdot 0{,}94^x$ einsetzt und den Wert im Taschenrechner berechnest. Anschließend sollst du die Werte noch auf zwei Nachkommastellen runden.
  Du solltest auf die folgenden Ergebnisse kommen:
  Anschließend zeichnest du für jeden Tabelleneintrag einen Punkt in das Koordinatensystem ein. Die $x$ - und $y$ -Werte kannst du direkt ablesen.
  Verbinde diese Punkte anschließend möglichst fließend. Zeichne den Graphen noch ein Stück über den letzten Punkt hinaus!
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2. Geben Sie an, um wie viel Prozent das Getränk pro Minute kälter wird.
  %
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Exponentialfunktion
  Untersuchung des Wachstumsfaktors
  Aus dem Kapitel zu Exponentialfunktionen weißt du, dass $0,94$ der Wachstumsfaktor der Funktion ist. Da dieser $< 1$ ist, liegt eine Abnahme vor. Das kannst du auch an der Abbildung erkennen. Die Dezimalzahl $0,94$ entspricht $94 %$ . Nach $x$ Minuten beträgt die Temperatur also nur noch $94 %$ der Temperatur, die nach $x - 1$ Minuten gemessen wurde. Sie nimmt also um $6 %$ ab.
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3. Ermitteln Sie mithilfe des Graphen zu $f$ , nach wie vielen Minuten die Temperatur des Getränks noch $40^\circ\;\text{C}$ beträgt
  min
  
  Graphische Lösung
  Die Funktion $f(x)=90\cdot 0{,}94^x$ gibt die Temperatur nach $x$ Minuten an. Um die Anzahl an Minuten am Graphen ablesen zu können benötigst du eine Gerade bei $y = 40$ . Dort wo diese deine Funktion $f (x)$ trifft liest du den $x$ -Wert ab. Dieser $x$ -Wert bezeichnet die Anzahl der Minuten.
  Der Schnittpunkt hat den $x$ -Wert $13$ . Somit ist die Temperatur des Getränks nach ca. $13 \, \text{min}$ auf $40^\circ\;\text{C}$ abgesunken.
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4. Um wie viel Prozent ist die Temperatur des Getränkes nach sechs Minuten insgesamt gesunken? Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an.
  $31 %$
  $36 %$
  $41 %$
  $69 %$
  
  Berechnung des Wachstumsfaktors
  Da die $0{,}94^x$ den Wachstumsfaktor nach $x$ Minuten angibt, reicht es, die $6$ für das $x$ einzusetzen. $0{,}94^6 \approx 0{,}69$ . Daraus ergibt sich sofort der Wachstumsfaktor $0,69$ , also eine Abnahme um $31 %$ (siehe Teilaufgabe b). Warum ist dies so? Man könnte die Rechnung auch durchführen $f(6)=90 \cdot 0{,}94^6\approx62{,}09$ . Nach $6$ Minuten beträgt die Temperatur also etwa $62{,}09^\circ\;\text{C}$ . Um den prozentualen Anteil auszurechnen, muss man die übrige Temperatur also durch die Anfangstemperatur teilen. $62{,}09/90\approx0{,}69$ . Man multipliziert also anfangs mit der $90$ , später teilt man wieder durch $90$ , um den Wachstumsfaktor auszurechnen, reicht es also $0{,}96^6$ zu berechnen.
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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Das Rechteck $A B C D$ mit $\overline{AB}=12\;\text{cm}$ und $\overline{BC}=7\;\text{cm}$ ist die Grundfläche der Pyramide $A B C D S$ (siehe Zeichnung). Die Spitze $S$ liegt senkrecht über dem Mittelpunkt $E$ der Strecke $[A D]$ mit $\overline{ES}=7\;\text{cm}$ . Der Punkt $F$ ist der Mittelpunkt der Strecke $[B C]$ . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Berechnen Sie das Maß $\varphi$ des Winkels $S F E$ sowie die Länge der Strecke $[F S]$ .
  $[$ Ergebnisse: $\varphi=30{,}26^\circ$ , $\overline {FS}=13{,}89\;\text{cm}$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Winkel
  Berechnung des Winkels
  Zu betrachten ist das Dreieck $S F E$ . Überlege dir welche Seiten gegeben sind und beachte, dass bei $E$ ein rechter Winkel liegt. Daran erkennst du, dass von $\varphi$ aus betrachtet die Gegenkathete und Ankathete gegeben sind und du den Tangens benötigst, um den Winkel zu berechnen.
  $\def\arraystretch{2} \begin{aligned}\tan \, \varphi &= \dfrac{7} {12} \hspace{2cm} \\\varphi&=\tan^{-1}\left(\dfrac{7} {12}\right)\\&\approx 30{,}256^\circ \approx 30{,}26^\circ\end{aligned}$
  Berechnung der Streckenlänge
  Um die Strecke $[S F]$ zu berechnen benötigst du den Satz des Pythagoras. $[S F]$ liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist somit Hypothenuse.
  $\overline{FS}^2 = \overline{ES}^2 + \overline{EF}^2 \hspace{2cm}$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}\overline{FS} &= \sqrt{\overline{ES}^2 + \overline{EF}^2} \\ &= \sqrt{(7\;\text{cm})^2 + (12\;\text{cm})^2} \\&= \sqrt{193\;\text{cm}^2} \approx 13{,}89 \, \text{cm}\end{aligned}$
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2. Der Punkt $P$ liegt auf der Strecke $[E F]$ mit $\overline{EP} = 5\;\text{cm}$ . Für Punkte $M_{n}$ auf der Strecke $[F S]$ gilt: $\overline {FM_{n}}(x)=x \;\text{cm}$ mit $x < 13,89$ und $x\in\mathbb{R}^+$ . Die Punkte $M_{n}$ sind die Mittelpunkte von Strecken $[Q_{n}$ $R_{n}]$ mit $R_{n}\in[CS]$ , $Q_{n}\in[BS]$ und $[Q_{n}$ $R_{n}] \;||\; [BC]$ .
  Die Punkte $P$ , $R_{n}$ und $Q_{n}$ sind die Eckpunkte von Dreiecken $PR_{n}Q_{n}$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $PR_{1}Q_{1}$ für $x = 3$ in das Schrägbild zu $2 a)$ ein.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder
  Zeichnen des Schrägbilds
  Zunächst sollte man den Punkt $P$ durch Abmessen einzeichnen. Da sich das Dreieck $S F E$ in der Zeichenebene befindet ( $S$ liegt senkrecht über $E$ ), kann man auch $M_{1}$ durch Abmessen einzeichnen. Laut Angabe ist $\overline{FM_{1}} = 3\;\text{cm}$ . Die Strecke $[Q_{1}R_{1}]$ ist parallel zu $[B C]$ .
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3. Der Punkt $M_{2}$ auf der Strecke $[F S]$ liegt senkrecht über dem Punkt $P$ . Zeichnen Sie $M_{2}$ und das Dreieck $PR_{2}Q_{2}$ in das Schrägbild zu $2 a)$ ein.
  Bestimmen Sie sodann durch Rechnung den zugehörigen Wert für $x$ und die Länge der Strecke $[R_{2}Q_{2}]$ . $[$ Ergebnis: $\overline {R_{2}Q_{2}} = 2{,}92 \;\text{cm}$ $]$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schrägbilder
  Dreieck einzeichnen
  Wieder gilt, dass das Dreieck $S F E$ in der Zeichenebene liegt. Daher zeichnet man zunächst die senkrechte Strecke $[PM_{2}]$ durch Messung des rechten Winkels ein. $[Q_{2}R_{2}]$ ist wieder parallel zu $[B C]$ .
  Gesucht ist die Länge der Strecke $\overline{FM_2}=x$ . Das Dreieck $M_{2} P F$ ist rechtwinklig, außerdem sind die Strecke $\overline{PF}=7\,\text{cm}$ und der Winkel $\varphi=30{,}26^{\circ}$ gegeben. Die Strecke $[F M_{2}]$ ist dabei die Hypotenuse und somit ergibt sich aus der Formel des Kosinus:
  $\cos (30{,}26^{\circ})=\dfrac{7\,\text{cm}}{x}$
  $\Rightarrow$ $x=\dfrac{7\,\text{cm}}{\cos(30{,}26^{\circ})}\\\approx 8{,}10\,\text{cm}$
  Streckenlänge berechnen
  Um die Länge der Strecke $\overline{R_2Q_2}$ zu berechnen, benötigt man den Strahlensatz.
  $\dfrac{\overline{R_2Q_2}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{SM_2}}{\overline{SF}}$
  $\dfrac{\overline{R_2Q_2}}{7\;\text{cm}}=\dfrac{13{,}89\;\text{cm}-8{,}10\;\text{cm}}{13{,}89\;\text{cm}} \hspace{2cm}$ | $\cdot7\;\text{cm}$
  $\overline{R_2Q_2}=\dfrac{5{,}79\;\text{cm}\cdot 7\;\text{cm}}{13{,}89\;\text{cm}}$
  $\overline{R_2Q_2}=2{,}92\;\text{cm}$
  Die Länge der Strecke $\overline{R_2Q_2}$ ist also $2{,}92\;\text{cm}$ .
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4. Das Dreieck $PR_{2}Q_{2}$ ist die Grundfläche der Pyramide $PR_{2}Q_{2}F$ . Ermitteln Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $PR_{2}Q_{2}F$ am Volumen der Pyramide $A B C D S$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz von Pythagoras
  Bei dieser Aufgabe sollst du das Volumen der Pyramide $P R_{2} Q_{2} F$ und den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $P R_{2} Q_{2} F$ zu der Pyramide $A B C D S$ bestimmen.
  Das Volumen einer Pyramide bestimmst du durch $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$ .
  Die Grundfläche $G$ ist hier das Dreieck $P R_{2} Q_{2}$ . Die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:
  $A_D=\dfrac12 \cdot g \cdot h$
  Die Länge der Grundseite $g$ dieses Dreiecks ist gegeben durch $\overline{Q_2R_2}=2{,}92\; \text{cm}$ , wie du bereits in Teilaufgabe c) berechnet hast.
  Die zweite Größe, die zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks nötig ist, ist seine Höhe $\hat{h}$ (Achtung: Hier ist nicht die Höhe $h$ der Pyramide $P R_{2} Q_{2} F$ gemeint, sondern die Höhe $\hat{h}$ des Dreiecks $P R_{2} Q_{2}$ ). Diese Höhe entspricht genau der Länge der Strecke $[M_{2} P]$ . Mithilfe des Satzes von Pythagoras erhältst du:
  $\overline{M_2P} = \sqrt{\overline{FM_2}^2 -\overline{PF}^2}= \sqrt{(8{,}1\text{cm})^2 - (7\text{cm})^2}\approx 4{,}08\text{cm}$
  Durch Einsetzen der berechneten Größen erhältst du nun für die Grundfläche der Pyramide, die dem Flächeninhalt des Dreiecks entspricht:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}G &= \frac{1}{2} \cdot \overline{Q_2R_2} \cdot \overline{M_2P} \\&= \frac{1}{2} \cdot 2{,}92 \text{cm} \cdot \sqrt{(8{,}1\text{cm})^2 - (7\text{cm})^2} \\&= \frac{1}{2} \cdot 2{,}92 \text{cm} \cdot 4{,}08 \text{cm} \end{aligned}$
  Zur Berechnung des Volumens der Pyramide benötigst du nun noch ihre Höhe $h$ . Diese ist gegeben durch $\overline{PF} = 7\;\text{cm}$ .
  Für das Volumen der Pyramide $P R_{2} Q_{2} F$ ergibt sich also $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2{,}92 \text{cm} \cdot 4{,}08 \text{cm} \cdot 7\text{cm} \\&= 13{,}90 \text{cm}^3\end{aligned}$
  Für die Pyramide $A B C D S$ ergibt sich $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\&= \frac{1}{3} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{ES}\\&= \frac{1}{3} \cdot 12\text{cm} \cdot 7\text{cm} \cdot 7\text{cm} \\&= 196 \text{cm}^3\end{aligned}$
  $\frac{V_{PR_2Q_2F}}{V_{ABCDS}} = \dfrac{13{,}90 \text{cm}^3}{196 \text{cm}^3} = 0{,}0709$
  Der prozentuale Anteil entspricht also $7{,}09\;\%$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Figur $A B C D$ dient als Schnittvorlage für eine Glasscheibe (siehe Skizze).
Der Kreisbogen $C D$ hat den Punkt $B$ als Mittelpunkt und den Radius $r=\overline{BC}$ . Es gilt:
$\overline{AB}=50{,}0\, \text{cm}$
$\overline{BC}=60{,}0 \, \text{cm}$
$\sphericalangle \; CBA = 90^{\circ}$
$\sphericalangle \; BAD = 120^{\circ}$
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
1. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[D A]$ .
  [Teilergebnis: $\sphericalangle \; DBA = 13{,}8^{\circ}$ ; Ergebnis: $[DA]=16{,}5\, \text{cm}$ ]
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz
  Berechnung der Strecke $\overline{DA}$
  Zeichne dir zunächst alle bekannten Größen in die Skizze ein.
  Betrachte anschließend das Dreieck $A B D$ mit den eingezeichneten Winkeln.
  Du kennst bereits die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ . Außerdem weißt du, dass der Punkt $C$ mit $D$ durch einen Kreisbogen verbunden wird, dessen Mittelpunkt bei $B$ liegt.
  Aus diesem Grund, weißt du, dass der Radius des Kreises $r=\overline{BC}=60{,}0 \, \text{cm}$ gleich lang ist wie $\overline{BD}$ , da auch das der Radius des Kreises ist.
  Anschließend kannst du über den Sinussatz den Winkel $\sphericalangle BDA$ berechnen um dann damit über die Innenwinkelsumme des Dreiecks auf den Winkel $\sphericalangle DAB$ zu kommen.
  Stelle den Sinussatz für die Seiten $B D$ und $A B$ und die dazugehörigen Winkel auf.
  $\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} = \dfrac{50{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(\sphericalangle BDA)}$
  Stelle diese Gleichung um, sodass du den Winkel $\sphericalangle BDA$ berechnen kannst.
  $\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} = \dfrac{50{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(\sphericalangle BDA)}\hspace{3cm} |\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA)$
  $\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA) = 50{,}0 \, \text{cm}\hspace{17mm} |\cdot \text{sin}(120^{\circ})$
  $60{,}0 \, \text{cm}\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA) = 50{,}0 \, \text{cm}\cdot \text{sin}(120^{\circ})\hspace{4mm} |:60{,}0 \, \text{cm}$
  $\text{sin}(\sphericalangle BDA) = \dfrac{50{,}0 \, \text{cm}}{60{,}0 \, \text{cm}} \cdot \text{sin}(120^\circ) \hspace{17mm} |\cdot \text{sin}^{-1}(...)$
  $\sphericalangle BDA = \text{sin}^{-1} \left( \dfrac{50{,}0} {60{,}0 }\cdot \text{sin}(120^{\circ}) \right) = 46{,}2^{\circ}$
  Berechne nun anhand der Innenwinkelsumme von $A B D$ den Winkel $\sphericalangle ABD$ .
  $\sphericalangle ABD = 180^{\circ} - 120^{\circ}-46{,}2^{\circ} = 13{,}8^{\circ}$
  Da du nun alle Winkel und die zwei der drei Strecken kennst, kannst du wiederum über den Sinussatz die Seite $\overline{DA}$ berechnen.
  $\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}= \dfrac{\overline{DA}}{\text{sin}(13{,}8^{\circ})}$
  Forme diese Gleichung nach der Strecke $\overline{DA}$ um.
  $\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}= \dfrac{\overline{DA}}{\text{sin}(13{,}8^{\circ})} \hspace{2cm}|\cdot \text{sin}(13{,}8^{\circ})$
  $\overline{DA} =\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} \cdot \text{sin}(13{,}8^{\circ}) = 16{,}5\, \text{cm}$
  Die Strecke $\overline{DA}$ ist $16{,}5 \, \text{cm}$ lang.
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2. Die Glasscheibe wird aus einer quadratischen Glasplatte herausgeschnitten. Dazu bewegt sich ein Laserschneider mit einer Geschwindigkeit von $30\, \text{cm}$ pro Sekunde entlang des Kreisbogens $C D$ und der Strecke $[D A]$ . Berechnen Sie die hierfür benötigte Zeit.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen
  Benötigte Zeit des Laserschneiders
  Der Laserschneider fährt zwei Strecken ab. Einmal die bereits bekannte Strecke $[D A]$ und zum anderen den Kreisbogen von $C$ nach $D$ .
  Aus diesem Grund musst du zuerst diese Strecke herausfinden.
  Dafür benötigst du die Formel für den Kreisbogen.
  $CD = 2 \pi r \cdot \dfrac{\sphericalangle CBD}{360°}$
  Den Winkel $\sphericalangle DBC$ erhältst du über die Subtraktion des rechten Winkels und des Winkels $\sphericalangle DBA$ .
  $CD = 2 \pi \cdot 60{,}0\, \text{cm} \cdot \dfrac{90^{\circ}-13{,}8^{\circ}}{360°} = 79{,}8 \, \text{cm}$
  Addiere die beiden Strecken $C D$ und $\overline{DA}$ um die gesamte Strecke des Laserschneiders zu bekommen.
  $CD + \overline{DA} = 79{,}8 \, \text{cm} + 16{,}5 \, \text{cm} = 96{,}3 \, \text{cm}$
  Diese Strecke wird vom Laserschneider in der Geschwindigkeit $v=30 \, \frac{\text{cm}}{\text{s}}$ abgefahren. Stelle die Formel für die Geschwindigkeit ( $v= \frac{s}{t}$ ) nach der Zeit um und setze ein!
  $v\ =\ \dfrac{s}{t}\hspace{2cm}|\cdot t |:v$
  $t = \dfrac{s}{v}$
  $t= \dfrac{96{,}3 \, \text{cm}}{30 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}} = 3{,}2 \, \text{s}$
  Der Laserschneider braucht für diese Strecke $3,2$ Sekunden.
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