Berechnung des Winkels

Zu betrachten ist das Dreieck $SFE$. Überlege dir welche Seiten gegeben sind und beachte, dass bei $E$ ein rechter Winkel liegt. Daran erkennst du, dass von $\varphi$ aus betrachtet die Gegenkathete und Ankathete gegeben sind und du den Tangens benötigst, um den Winkel zu berechnen.

Berechnung der Streckenlänge

Um die Strecke $[SF]$ zu berechnen benötigst du den Satz des Pythagoras. $[SF]$ liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist somit Hypothenuse.

Zeichnen des Schrägbilds

Zunächst sollte man den Punkt $P$ durch Abmessen einzeichnen. Da sich das Dreieck $SFE$ in der Zeichenebene befindet ($S$ liegt senkrecht über $E$), kann man auch $M_{1}$ durch Abmessen einzeichnen. Laut Angabe ist $\overline{FM_{1}} = 3\;\text{cm}$. Die Strecke $[Q_{1}R_{1}]$ ist parallel zu $[BC]$.

Dreieck einzeichnen

Streckenlänge berechnen

Um die Länge der Strecke $\overline{R_2Q_2}$ zu berechnen, benötigt man den Strahlensatz.

$\dfrac{\overline{R_2Q_2}}{\overline{BC}}=\dfrac{\overline{SM_2}}{\overline{SF}}$

$\dfrac{\overline{R_2Q_2}}{7\;\text{cm}}=\dfrac{13{,}89\;\text{cm}-8{,}10\;\text{cm}}{13{,}89\;\text{cm}} \hspace{2cm}$ |$\cdot7\;\text{cm}$

$\overline{R_2Q_2}=\dfrac{5{,}79\;\text{cm}\cdot 7\;\text{cm}}{13{,}89\;\text{cm}}$

$\overline{R_2Q_2}=2{,}92\;\text{cm}$

Die Länge der Strecke $\overline{R_2Q_2}$ ist also $2{,}92\;\text{cm}$.

Bei dieser Aufgabe sollst du das Volumen der Pyramide $PR_2Q_2F$ und den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide $PR_2Q_2F$ zu der Pyramide $ABCDS$ bestimmen.

Das Volumen einer Pyramide bestimmst du durch $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$ mit der Grundfläche $G$ und der Höhe $h$.

Die Grundfläche $G$ ist hier das Dreieck $PR_2Q_2$. Die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:

$A_D=\dfrac12 \cdot g \cdot h$

Die Länge der Grundseite $g$ dieses Dreiecks ist gegeben durch $\overline{Q_2R_2}=2{,}92\; \text{cm}$, wie du bereits in Teilaufgabe c) berechnet hast.

Die zweite Größe, die zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks nötig ist, ist seine Höhe $\hat{h}$ (Achtung: Hier ist nicht die Höhe $h$ der Pyramide $PR_2Q_2F$ gemeint, sondern die Höhe $\hat{h}$ des Dreiecks $PR_2Q_2$). Diese Höhe entspricht genau der Länge der Strecke $[M_2P]$. Mithilfe des Satzes von Pythagoras erhältst du:

$\overline{M_2P} = \sqrt{\overline{FM_2}^2 -\overline{PF}^2}= \sqrt{(8{,}1\text{cm})^2 - (7\text{cm})^2}\approx 4{,}08\text{cm}$

Durch Einsetzen der berechneten Größen erhältst du nun für die Grundfläche der Pyramide, die dem Flächeninhalt des Dreiecks entspricht:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}G &= \frac{1}{2} \cdot \overline{Q_2R_2} \cdot \overline{M_2P} \\&= \frac{1}{2} \cdot 2{,}92 \text{cm} \cdot \sqrt{(8{,}1\text{cm})^2 - (7\text{cm})^2} \\&= \frac{1}{2} \cdot 2{,}92 \text{cm} \cdot 4{,}08 \text{cm} \end{aligned}$

Zur Berechnung des Volumens der Pyramide benötigst du nun noch ihre Höhe $h$. Diese ist gegeben durch $\overline{PF} = 7\;\text{cm}$.

Für das Volumen der Pyramide $PR_2Q_2F$ ergibt sich also $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\&= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2{,}92 \text{cm} \cdot 4{,}08 \text{cm} \cdot 7\text{cm} \\&= 13{,}90 \text{cm}^3\end{aligned}$

Für die Pyramide $ABCDS$ ergibt sich $\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot G \cdot h \\&= \frac{1}{3} \cdot \overline{AB} \cdot \overline{BC} \cdot \overline{ES}\\&= \frac{1}{3} \cdot 12\text{cm} \cdot 7\text{cm} \cdot 7\text{cm} \\&= 196 \text{cm}^3\end{aligned}$

$\frac{V_{PR_2Q_2F}}{V_{ABCDS}} = \dfrac{13{,}90 \text{cm}^3}{196 \text{cm}^3} = 0{,}0709$

Der prozentuale Anteil entspricht also $7{,}09\;\%$.