Teil A - lernen mit Serlo!

Die Figur $ABCD$ dient als Schnittvorlage für eine Glasscheibe (siehe Skizze).

Der Kreisbogen $CD$ hat den Punkt $B$ als Mittelpunkt und den Radius $r=\overline{BC}$ . Es gilt:

$\overline{AB}=50{,}0\, \text{cm}$

$\overline{BC}=60{,}0 \, \text{cm}$

$\sphericalangle \; CBA = 90^{\circ}$

$\sphericalangle \; BAD = 120^{\circ}$

Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.

Berechnen Sie die Länge der Strecke $[DA]$ .
[Teilergebnis: $\sphericalangle \; DBA = 13{,}8^{\circ}$ ; Ergebnis: $[DA]=16{,}5\, \text{cm}$ ]

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinussatz
Berechnung der Strecke $\overline{DA}$
Zeichne dir zunächst alle bekannten Größen in die Skizze ein.
Betrachte anschließend das Dreieck $ABD$ mit den eingezeichneten Winkeln.
Du kennst bereits die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{BC}$ . Außerdem weißt du, dass der Punkt $C$ mit $D$ durch einen Kreisbogen verbunden wird, dessen Mittelpunkt bei $B$ liegt.
Aus diesem Grund, weißt du, dass der Radius des Kreises $r=\overline{BC}=60{,}0 \, \text{cm}$ gleich lang ist wie $\overline{BD}$ , da auch das der Radius des Kreises ist.
Anschließend kannst du über den Sinussatz den Winkel $\sphericalangle BDA$ berechnen um dann damit über die Innenwinkelsumme des Dreiecks auf den Winkel $\sphericalangle DAB$ zu kommen.
Stelle den Sinussatz für die Seiten $BD$ und $AB$ und die dazugehörigen Winkel auf.
$\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} = \dfrac{50{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(\sphericalangle BDA)}$
Stelle diese Gleichung um, sodass du den Winkel $\sphericalangle BDA$ berechnen kannst.
$\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} = \dfrac{50{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(\sphericalangle BDA)}\hspace{3cm} |\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA)$
$\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA) = 50{,}0 \, \text{cm}\hspace{17mm} |\cdot \text{sin}(120^{\circ})$
$60{,}0 \, \text{cm}\cdot \text{sin}(\sphericalangle BDA) = 50{,}0 \, \text{cm}\cdot \text{sin}(120^{\circ})\hspace{4mm} |:60{,}0 \, \text{cm}$
$\text{sin}(\sphericalangle BDA) = \dfrac{50{,}0 \, \text{cm}}{60{,}0 \, \text{cm}} \cdot \text{sin}(120^\circ) \hspace{17mm} |\cdot \text{sin}^{-1}(...)$
$\sphericalangle BDA = \text{sin}^{-1} \left( \dfrac{50{,}0} {60{,}0 }\cdot \text{sin}(120^{\circ}) \right) = 46{,}2^{\circ}$
Berechne nun anhand der Innenwinkelsumme von $ABD$ den Winkel $\sphericalangle ABD$ .
$\sphericalangle ABD = 180^{\circ} - 120^{\circ}-46{,}2^{\circ} = 13{,}8^{\circ}$
Da du nun alle Winkel und die zwei der drei Strecken kennst, kannst du wiederum über den Sinussatz die Seite $\overline{DA}$ berechnen.
$\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}= \dfrac{\overline{DA}}{\text{sin}(13{,}8^{\circ})}$
Forme diese Gleichung nach der Strecke $\overline{DA}$ um.
$\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})}= \dfrac{\overline{DA}}{\text{sin}(13{,}8^{\circ})} \hspace{2cm}|\cdot \text{sin}(13{,}8^{\circ})$
$\overline{DA} =\dfrac{60{,}0 \, \text{cm}}{\text{sin}(120^{\circ})} \cdot \text{sin}(13{,}8^{\circ}) = 16{,}5\, \text{cm}$
Die Strecke $\overline{DA}$ ist $16{,}5 \, \text{cm}$ lang.
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Die Glasscheibe wird aus einer quadratischen Glasplatte herausgeschnitten. Dazu bewegt sich ein Laserschneider mit einer Geschwindigkeit von $30\, \text{cm}$ pro Sekunde entlang des Kreisbogens $CD$ und der Strecke $[DA]$ . Berechnen Sie die hierfür benötigte Zeit.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisbogen
Benötigte Zeit des Laserschneiders
Der Laserschneider fährt zwei Strecken ab. Einmal die bereits bekannte Strecke $[DA]$ und zum anderen den Kreisbogen von $C$ nach $D$ .
Aus diesem Grund musst du zuerst diese Strecke herausfinden.
Dafür benötigst du die Formel für den Kreisbogen.
$CD = 2 \pi r \cdot \dfrac{\sphericalangle CBD}{360°}$
Den Winkel $\sphericalangle DBC$ erhältst du über die Subtraktion des rechten Winkels und des Winkels $\sphericalangle DBA$ .
$CD = 2 \pi \cdot 60{,}0\, \text{cm} \cdot \dfrac{90^{\circ}-13{,}8^{\circ}}{360°} = 79{,}8 \, \text{cm}$
Addiere die beiden Strecken $CD$ und $\overline{DA}$ um die gesamte Strecke des Laserschneiders zu bekommen.
$CD + \overline{DA} = 79{,}8 \, \text{cm} + 16{,}5 \, \text{cm} = 96{,}3 \, \text{cm}$
Diese Strecke wird vom Laserschneider in der Geschwindigkeit $v=30 \, \frac{\text{cm}}{\text{s}}$ abgefahren. Stelle die Formel für die Geschwindigkeit ( $v= \frac{s}{t}$ ) nach der Zeit um und setze ein!
$v\ =\ \dfrac{s}{t}\hspace{2cm}|\cdot t |:v$
$t = \dfrac{s}{v}$
$t= \dfrac{96{,}3 \, \text{cm}}{30 \, \dfrac{\text{cm}}{\text{s}}} = 3{,}2 \, \text{s}$
Der Laserschneider braucht für diese Strecke $3{,}2$ Sekunden.
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Berechnung der Strecke DA‾\overline{DA}DA

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Benötigte Zeit des Laserschneiders

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Berechnung der Strecke $\overline{DA}$