Aufgaben zur Trigonometrie - lernen mit Serlo!

Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche $1{,}55\text{ m}$ groß ist, auf ebener Straße einen $12 \text{ m}$ langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.

Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck

Skizze zur Aufgabenstellung

Körpergröße - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Vorüberlegung und Lösungsplan

Das Dreieck $\triangle AKF$ hat bei $F$ einen rechten Winkel. Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.

Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,

welche Seite die Hypotenuse im Dreieck $\triangle AKF$ ist, und
welche Seite die Ankathete zu $\alpha$ ,
und welche die Gegenkathete zu $\alpha$ ist.

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Hypotenuse: Seite [AK] mit $\overline{\mathrm{AK}}=?_{ }$
Ankathete zum Winkel $\alpha$ : Seite [FA] mit $\overline {\mathrm{FA}}= 12\, \mathrm{m}$
Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ : Seite [FK] mit $\overline {\mathrm{FK}}= 1{,}55\, \mathrm{m}$

Die Formeln für sin, cos und tan lauten:

$\sin \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\cos \alpha = \frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$

$\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.

$\rightarrow$ Löse die Aufgabe mit dem Tangens.

Lösung der Aufgabe

$\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}$

Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.

$\tan \alpha = \frac {\overline {\mathrm{FK}}}{\overline {\mathrm{FA}}}$

Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.

$\tan \alpha = \frac {1{,}55\, \mathrm {m}}{12 \,\mathrm{m}}=\frac{31}{240}\approx 0{,}129$

Um daraus den Winkel $\alpha$ zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion $\tan^{-1}$ an.

$\alpha=\tan^{-1} (\frac{31}{240}) \approx 7{,}4^\circ$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von $7{,}4^\circ$ auf die Straße.

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