Anwendungsaufgaben zu sin, cos und tan

Wie gut kennst du dich mit Sinus, Kosinus und Tangens aus? Teste dich mit diesen Anwendungsaufgaben und vertiefe dein Verständnis!

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche $1,55 m$ groß ist, auf ebener Straße einen $12 m$ langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.
Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Skizze zur Aufgabenstellung
Vorüberlegung und Lösungsplan
Das Dreieck $△ A K F$ hat bei $F$ einen rechten Winkel. Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.
Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,
welche Seite die Hypotenuse im Dreieck $△ A K F$ ist, und
welche Seite die Ankathete zu $α$ ,
und welche die Gegenkathete zu $α$ ist.
Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete
Hypotenuse: Seite [AK] mit $AK = ?_{}$
Ankathete zum Winkel $α$ : Seite [FA] mit $FA = 12 m$
Gegenkathete zum Winkel $α$ : Seite [FK] mit $FK = 1,55 m$
Die Formeln für sin, cos und tan lauten:
$\sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$
$\cos α = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$
$\tan α = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$
Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.
$\to$ Löse die Aufgabe mit dem Tangens.
Lösung der Aufgabe
$\tan α = \frac{Gegenkathete zu α}{Ankathete zu α}$
Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.
$\tan α = \frac{FK}{FA}$
Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.
$\tan α = \frac{1,55 m}{12 m} = \frac{31}{240} \approx 0,129$
Um daraus den Winkel $α$ zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion $\tan^{- 1}$ an.
$α = \tan^{- 1} (\frac{31}{240}) \approx {7,4}^{\circ}$
$\Rightarrow$ Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von ${7,4}^{\circ}$ auf die Straße.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Eine Tanne wirft einen $20 m$ langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen dabei unter einem Winkel von $31^{\circ}$ auf die Erde. Zeichne eine Skizze und berechne die Höhe der Tanne.
Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
$\tan (31^{\circ})$ $=$ $\frac{h}{20 m}$ $\cdot 20 m$
$h$ $=$ $\tan (31^{\circ}) \cdot 20 m$
$h$ $=$ $12 m$
$\Rightarrow$ Die Höhe der Tanne beträgt $12 m$ .
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Die Zugbrücke einer Burg ist $8 m$ lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von $43^{\circ}$ . Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunterklappen kann?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Bestimme die Kettenlänge $k$ mithilfe des Sinus.
$\sin (43 °)$ $=$ $\frac{8 m}{k}$ $\cdot k$
$\sin (43 °) \cdot k$ $=$ $8 m$ $: \sin (43 °)$
$k$ $=$ $\frac{8 m}{\sin (43 °)}$
$k$ $\approx$ $11,7 m$
Die Kette muss in etwa 11,7 m lang sein, damit man die Zugbrücke herunterlassen kann.
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Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am einen Ufer die Strecke $AB = 80 m$ abgesteckt. Am anderen Ufer gibt es gegenüber von B einen Punkt C. Als Winkel zwichen AB und AC wird $α = 38^{\circ}$ gemessen. Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann die Breite des Flusses.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
1. Skizze zeichnen
2. Breite berechnen
$\tan (38^{\circ})$ $=$ $a : 80 m$ $\cdot 80 m$
$a$ $=$ $\tan (38^{\circ}) \cdot 80 m$
$a$ $=$ $62,5 m$
Antwort: Der Fluss ist $62,5 m$ breit
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Drachenflieger wird von einem Motorboot gezogen. Till schätzt vom Boot aus den Anstiegswinkel der 100 m langen, straff gespannten Schleppleine auf etwa 50°.
Wie hoch ist der Flieger etwa über dem Wasser?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Geg: Hypothenuse $= 100 m$ , $α = 50^{\circ}$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $h$ berechnen.
$\sin (50^{\circ}) = \frac{h}{100 m} | \cdot 100 m$
Nach $h$ umformen.
$h = \sin (50^{\circ}) \cdot 100 m^{}$
Multipilikation.
$h = 76,6 m$
$\Rightarrow$ Der Flieger ist $76,6 m$ über dem Wasser.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Beim "Fliegen" hinter dem Motorboot an einer 100m langen Leine soll aus Sicherheitsgründen die Flughöhe von 20m nicht überschritten werden.
Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine sein?
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
geg: Hypothenuse $= 100 m$ , Gegenkathete $= 20 m$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $α$ berechnen.
$\sin (α) = \frac{20 m}{100 m}$
Mit Hilfe des Taschenrechners $α$ berechnen.
$α = {11,5}^{\circ}$
$\Rightarrow$ Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Um eine Geschosshöhe von 3,20m durch eine Treppe zu überbrücken, stehen für die Ausladung 4,50m zur Verfügung.
Unter welchem Steigungswinkel ist die Treppenwange zuzuschneiden?
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
Sinus, Cosinus und Tangens
geg.: $h = 3,2 m; x = 4,5 m$
ges.: $α$
Skizze zum Verständnis zeichnen.
Den Winkel $α$ mithilfe des Tangens berechnen.
$\tan (α)$ $=$ $\frac{h}{x}$
↓
Werte einsetzen
$\tan (α)$ $=$ $\tan (α) = \frac{3,2}{4,5}$
↓
$α$ mithilfe des Arkustangens $t a n^{- 1}$ berechnen.
$α$ $=$ $\tan^{- 1} (\frac{3,2}{4,5})$
$α$ $=$ ${35,4}^{\circ}$
$\Rightarrow$ Die Treppenwange ist unter einem Steigungswinkel von $α = 35,4 °$ zuzuschneiden.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
In 50 m Länge soll ein Damm mit trapezförmigem Querschnitt aufgeschüttet werden. Unten soll er 18 m breit sein, oben 8 m. Der Böschungswinkel soll 50° betragen.
Berechne die Dammhöhe.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
geg: a = 18 m; b = 8 m; $α$ = 50°
ges: h
Zum Verständnis eine Skizze zeichnen.
x berechnen, indem man b von a subtrahiert und das Ergebnis halbiert.
$x = \frac{18 m - 8 m}{2} = 5 m$
h mit Hilfe des Tangens berechnen.
$\tan (α)$ $=$ $\frac{h}{x}$
↓
Nach h umformen und Werte einsetzen.
$h$ $=$ $5 m \cdot \tan (50^{\circ})$
↓
Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .
$h$ $=$ $6 m$
$\Rightarrow$ Die Dammhöhe beträgt 6 m.
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Der Steigungswinkel von Treppen soll laut DIN-Norm für Haupttreppen $25 ° - 38 °$ , für Nebentreppen $38 ° - 45 °$ betragen.
Die Geschosshöhe beträgt $25 m$ .
1. Wie lang wird die Treppenwange für $25 °$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h = 25 m$ ; $α = 25^{\circ}$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan (α) = \frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x = \frac{25 m}{\tan (25^{\circ})} \approx 54 m$
  $w$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
  $\sin (α) = \frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w = \frac{25 m}{\sin (25^{\circ})} \approx 59 m$
  $\Rightarrow$ Die Ausladung beträgt $54 m$ , die Wange $59 m$ .
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2. Wie lang wird die Treppenwange für $38 °$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h = 25 m$ ; $α = 38^{\circ}$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan (α) = \frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x = \frac{25 m}{\tan (38^{\circ})} \approx 32 m$
  $w$ mithilfe des Sinus berechnen.
  $\sin (α) = \frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w = \frac{25 m}{\sin (38^{\circ})} \approx 41 m$
  $\Rightarrow$ Die Ausladung beträgt $32 m$ , die Wange $41 m$ .
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3. Wie lang wird die Treppenwange für $45 °$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h = 25 m$ ; $α = 45^{\circ}$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan (α) = \frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x = \frac{25 m}{\tan (45^{\circ})} = 25 m$
  $w$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
  $\sin (α) = \frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w = \frac{25 m}{\sin (45^{\circ})} \approx 35 m$
  ⇒ Die Ausladung beträgt $25 m$ , die Wange $35 m$ .
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\tan (31^{\circ})$	$=$	$\frac{h}{20 m}$	$\cdot 20 m$
$h$	$=$	$\tan (31^{\circ}) \cdot 20 m$
$h$	$=$	$12 m$

$\sin (43 °)$	$=$	$\frac{8 m}{k}$	$\cdot k$
$\sin (43 °) \cdot k$	$=$	$8 m$	$: \sin (43 °)$
$k$	$=$	$\frac{8 m}{\sin (43 °)}$
$k$	$\approx$	$11,7 m$

$\tan (38^{\circ})$	$=$	$a : 80 m$	$\cdot 80 m$
$a$	$=$	$\tan (38^{\circ}) \cdot 80 m$
$a$	$=$	$62,5 m$

$\tan (α)$	$=$	$\frac{h}{x}$
	↓	Werte einsetzen
$\tan (α)$	$=$	$\tan (α) = \frac{3,2}{4,5}$
	↓	$α$ mithilfe des Arkustangens $t a n^{- 1}$ berechnen.
$α$	$=$	$\tan^{- 1} (\frac{3,2}{4,5})$
$α$	$=$	${35,4}^{\circ}$

$\tan (α)$	$=$	$\frac{h}{x}$
	↓	Nach h umformen und Werte einsetzen.
$h$	$=$	$5 m \cdot \tan (50^{\circ})$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .
$h$	$=$	$6 m$

Anwendungsaufgaben zu sin, cos und tan

Skizze zur Aufgabenstellung

Vorüberlegung und Lösungsplan

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Lösung der Aufgabe

1. Skizze zeichnen

2. Breite berechnen

Sinus, Cosinus und Tangens

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