Anwendungsaufgaben zu sin, cos und tan

Wie gut kennst du dich mit Sinus, Kosinus und Tangens aus? Teste dich mit diesen Anwendungsaufgaben und vertiefe dein Verständnis!

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Bei tief stehender Abendsonne wirft Luise, welche $1{,}55\text{ m}$ groß ist, auf ebener Straße einen $12 \text{ m}$ langen Schatten. Zeichne eine Skizze und berechne den Winkel, mit dem der Sonnenstrahl auf den Boden trifft.
Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
°
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen im rechtwinkligen Dreieck
Skizze zur Aufgabenstellung
Vorüberlegung und Lösungsplan
Das Dreieck $\triangle AKF$ hat bei $F$ einen rechten Winkel. Daher gelten in ihm die Formeln für sin, cos und tan.
Um zu wissen, welche der Formeln du verwenden sollst, stelle zunächst fest,
welche Seite die Hypotenuse im Dreieck $\triangle AKF$ ist, und
welche Seite die Ankathete zu $\alpha$ ,
und welche die Gegenkathete zu $\alpha$ ist.
Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete
Hypotenuse: Seite [AK] mit $\overline{\mathrm{AK}}=?_{ }$
Ankathete zum Winkel $\alpha$ : Seite [FA] mit $\overline {\mathrm{FA}}= 12\, \mathrm{m}$
Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ : Seite [FK] mit $\overline {\mathrm{FK}}= 1{,}55\, \mathrm{m}$
Die Formeln für sin, cos und tan lauten:
$\sin \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\cos \alpha = \frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
$\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$
Da die Hypotenuse nicht gegeben ist, sollte sie möglichst in der Formel, die du verwendest, möglichst nicht vorkommen.
$\rightarrow$ Löse die Aufgabe mit dem Tangens.
Lösung der Aufgabe
$\tan \alpha = \frac {\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Ankathete zu }\alpha}$
Setze in diese Formel die Streckenlängen aus der Aufgabe ein.
$\tan \alpha = \frac {\overline {\mathrm{FK}}}{\overline {\mathrm{FA}}}$
Für die Streckenlängen setzt du jetzt die Zahlenwerte ein und kannst den Tangens des Winkels ausrechnen.
$\tan \alpha = \frac {1{,}55\, \mathrm {m}}{12 \,\mathrm{m}}=\frac{31}{240}\approx 0{,}129$
Um daraus den Winkel $\alpha$ zu erhalten, wendest du mit dem Taschenrechner die Umkehrfunktion $\tan^{-1}$ an.
$\alpha=\tan^{-1} (\frac{31}{240}) \approx 7{,}4^\circ$
$\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Sonnenstrahlen fallen in einem Winkel von $7{,}4^\circ$ auf die Straße.

Eine Tanne wirft einen $20m$ langen Schatten. Die Sonnenstrahlen treffen dabei unter einem Winkel von $31^\circ$ auf die Erde. Zeichne eine Skizze und berechne die Höhe der Tanne.

Runde dein Ergebnis auf ganze Zahlen.

Die Zugbrücke einer Burg ist 8m lang und hat zwischen der Mauer und der Kette einen Winkel von $43^\circ$ . Wie lang muss die Kette sein, mit der man die Zugbrücke hinunter klappen kann?

Zugbrücke einer Burg - Sin, Cos, Tan im rechtwinkligen Dreieck

Um die Breite eines Flusses zu bestimmen, hat man am einen Ufer die Strecke $\overline{\mathrm{AB}}=80m$ abgesteckt. Am anderen Ufer gibt es gegenüber von B einen Punkt C. Als Winkel zwichen AB und AC wird $\alpha=38^\circ$ gemessen. Fertige zunächst eine Skizze an und berechne dann die Breite des Flusses.

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Ein Drachenflieger wird von einem Motorboot gezogen. Till schätzt vom Boot aus den Anstiegswinkel der 100 m langen, straff gespannten Schleppleine auf etwa 50°.
Wie hoch ist der Flieger etwa über dem Wasser?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
Geg: Hypothenuse $=100\;m$ , $\alpha =50^\circ$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $h$ berechnen.
$\sin\left(50^\circ\right)=\dfrac h{100\ \text{m}} \quad \quad \left|\cdot100\ \text{m}\right.$
Nach $h$ umformen.
$h=\sin\left(50^{\circ}\right)\cdot100\ \text{m}^{ }$
Multipilikation.
$h=76{,}6\;m$
$\Rightarrow\;\;$ Der Flieger ist $76{,}6\; m$ über dem Wasser.
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Beim "Fliegen" hinter dem Motorboot an einer 100m langen Leine soll aus Sicherheitsgründen die Flughöhe von 20m nicht überschritten werden.
Wie groß darf der Anstiegswinkel der Leine sein?
°

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Kosinus und Tangens
geg: Hypothenuse $= 100\ \text{m}$ , Gegenkathete $=20m$
Zur Verdeutlichung eine Skizze zeichnen.
Mit Hilfe des Sinus $\alpha$ berechnen.
$\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{20\ \text{m}}{100\ \text{m}}$
Mit Hilfe des Taschenrechners $\alpha$ berechnen.
$\alpha=11{,}5^\circ$
$\Rightarrow\;\;$ Der Anstiegswinkel darf höchstens 11,5° sein.

Um eine Geschosshöhe von 3,20m durch eine Treppe zu überbrücken, stehen für die Ausladung 4,50m zur Verfügung.

Unter welchem Steigungswinkel ist die Treppenwange zuzuschneiden?

In 50 m Länge soll ein Damm mit trapezförmigem Querschnitt aufgeschüttet werden. Unten soll er 18 m breit sein, oben 8 m. Der Böschungswinkel soll 50° betragen.

Berechne die Dammhöhe.

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Der Steigungswinkel von Treppen soll laut DIN-Norm für Haupttreppen $25°-38°$ , für Nebentreppen $38°-45°$ betragen.
Die Geschosshöhe beträgt $25\ m$ .
1. Wie lang wird die Treppenwange für $25°$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h=25\ m$ ; $\alpha =25^\circ$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan \left(\alpha \right)=\frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x=\frac{25\ m}{\tan\left(25^{\circ}\right)}\approx54\ m$
  $w$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
  $\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w=\frac{25m}{\sin\left(25^{\circ}\right)}\approx59\ m$
  $\Rightarrow\;\;$ Die Ausladung beträgt $54\ m$ , die Wange $59\ m$ .
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2. Wie lang wird die Treppenwange für $38°$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h=25\ m$ ; $\alpha =38^\circ$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan \left(\alpha \right)=\frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x=\frac{25\ m}{\tan\left(38^{\circ}\right)}\approx32\ m$
  $w$ mithilfe des Sinus berechnen.
  $\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w=\frac{25\ m}{\sin\left(38^{\circ}\right)}\approx41\ m$
  $\Rightarrow\;\;$ Die Ausladung beträgt $32m$ , die Wange $41\ m$ .
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3. Wie lang wird die Treppenwange für $45°$ . Berechne auch die Ausladung.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Sinus, Cosinus und Tangens
  Geg.: $h=25\ m$ ; $\alpha =45^\circ$
  Ges.: $x$ , $w$
  Zunächst $x$ mit Hilfe des Tangens berechnen.
  $\tan \left(\alpha \right)=\frac{h}{x}$
  Nach $x$ umstellen und Werte einsetzen.
  $x=\frac{25\ m}{\tan\left(45^{\circ}\right)}=25\ m$
  $w$ mit Hilfe des Sinus berechnen.
  $\sin \left(\alpha \right)=\frac{h}{w}$
  Nach $w$ umstellen und Werte einsetzen.
  $w=\frac{25\ m}{\sin\left(45^{\circ}\right)}\approx35\ m$
  ⇒ Die Ausladung beträgt $25\ m$ , die Wange $35\ m$ .
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \tan\left(31^{\circ}\right)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{h}{20m}$	$\displaystyle {\cdot20m}$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle \tan\left(31^{\circ}\right)\cdot20m$
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 12m$

$\displaystyle \sin\left(43°\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{8\text{m}}{k}$	$\displaystyle \cdot k$
$\displaystyle \sin\left(43°\right)\cdot k$	$=$	$\displaystyle 8\ \text{m}\$	$\displaystyle \ :\sin\left(43°\right)$
$\displaystyle k$	$=$	$\displaystyle \frac{8\text{m}}{\sin\left(43°\right)}$
$\displaystyle k$	$≈$	$\displaystyle 11{,}7\text{m}\$

$\displaystyle \tan\left(38^{\circ}\right)$	$=$	$\displaystyle a:80\,m$	$\displaystyle {\cdot80\,m}$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle \tan\left(38^\circ\right)\cdot80\,m$
$\displaystyle a$	$=$	$\displaystyle 62{,}5\,m$

$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Werte einsetzen
$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)=\frac{3{,}2}{4{,}5}$
	↓	$\alpha$ mithilfe des Arkustangens $tan^{-1}$ berechnen.
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle \tan^{-1}\left(\frac{3{,}2}{4{,}5}\right)$
$\displaystyle \alpha$	$=$	$\displaystyle 35{,}4^\circ$

$\displaystyle \tan\left(\alpha\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{h}{x}$
	↓	Nach h umformen und Werte einsetzen.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 5\,\mathrm{m}\cdot\tan\left(50^\circ\right)$
	↓	Mit Hilfe des Taschenrechners multiplizieren .
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 6\,\mathrm{m}$

Anwendungsaufgaben zu sin, cos und tan

Skizze zur Aufgabenstellung

Vorüberlegung und Lösungsplan

Feststellen von Hypotenuse, Ankathete und Gegenkathete

Lösung der Aufgabe

1. Skizze zeichnen

2. Breite berechnen

Sinus, Cosinus und Tangens

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