Aufgaben zum geometrischen Mittel

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Ein Guthaben $W$ wurde in den letzten Jahren wie folgt verzinst: 2007 +12%, 2008 +7%, 2009 +2%, 2010 -4%, 2011 -10%.

Nun soll der durchschnittliche, also konstante, Zinssatz p ermittelt werden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zinsrechnung

Anwendungsaufgabe für geometrisches Mittel

Du betrachtest den Zuwachs über fünf Jahre.

Zu Beginn ist der Grundbetrag des Guthabens $W$ vorhanden.

Der Zuwachs im ersten Jahr ist nach der Zinsrechnung:

$W_1=(W\;+\;W\cdot0{,}12)=(1+0{,}12)\cdot W=1{,}12\cdot W$

Das Gleiche gilt für das zweite Jahr, nur muss jetzt beachtet werden, dass zum Grundbetrag $W$ schon Geld dazugegekommen ist, und man nun den Wert $W_{1}$ verzinst.

$W_2=(W_1+W_1\cdot0{,}07)=W_1\cdot1{,}07=W\cdot1{,}12\cdot1{,}07$

Wir sehen also, dass die Zinsfaktoren einfach multipliziert werden müssen, damit wir den Endbetrag $W_{Ende}$ erhalten, also folgt damit:

$W_{Ende}=W\cdot1{,}12\cdot1{,}07\cdot1{,}02\cdot0{,}96\cdot0{,}90$

Um weniger Rundungsfehler zu haben, lassen wir die Multiplikation so stehen, betrachten sie aber als eine feste Zahl. Nun stellt man die Frage, welche Zahl man fünfmal mit sich selbst multiplizieren muss, um den gleichen Wert zu erhalten, den die fünf Faktoren ergeben. Dazu kannst du eine Gleichung aufstellen:

$p^5=1{,}12\cdot 1{,}07\cdot 1{,}02 \cdot 0{,}96\cdot 0{,}90 \mid \sqrt[5]{\;}$

$p=\sqrt[5]{1{,}12\cdot1{,}07\cdot1{,}02\cdot0{,}96\cdot0{,}90}$

Nun hast du den Term, den dir die geometrische Reihe vorgibt. Damit ist auch ihre Bedeutung für die Finanzmathematik gezeigt, da die meisten konstanten Zuwachsfunktionen über das geometrische Mittel berechnet werden.

$p\approx1{,}01$

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