Die wichtigen Informationen aus der Angabe sind:

• $f$ ist eine quadratische Funktion, hat also Grad $2$

• $f$ hat mindestens eine Nullstelle

• $5$ ist eine Nullstelle, also $f(5)=0$

Jetzt kann systematisch vorgegangen werden:

Überprüfung der Grade

Die Funktion $f_1(x)=7\cdot (x-5)\cdot (x-8)\cdot (x-8)$ hat Grad $3$, kommt also nicht in Frage.Die restlichen Funktionen haben Grad $2$, weil beim Ausmultiplizieren die höchste vorkommende Potenz $2$ ist.

Überprüfung der Nullstelle

Wie du erkennen kannst, sind alle Antwortmöglichkeiten in der Nullstellenform. Also kannst du die Nullstellen der Funktionen aus ihren Termen ablesen.

Funktion: $f_2(x)=27\cdot (x+18)\cdot (x-9)$

Die Nullstellen dieser Funktion sind $-18$ und $9$. Da $5$ keine Nullstelle ist, erfüllt $f_1$ die Voraussetzungen nicht.

Funktion: $f_3(x)=34\cdot (x+5)\cdot (x+66)$

Die Nullstellen dieser Funktion sind $-5$ und $-66$. Hier ist es wichtig auf die Vorzeichen in Klammern zu achten.

Diese Funktion erfüllt also die Voraussetzungen auch nicht.

Funktion: $f_4(x)=42\cdot (x-5{)}^2$

Hier gibt es die doppelte Nullstelle bei $5$, also ist $f_4$ eine Lösung.

Funktion: $f_5(x)=3\cdot (x-3)\cdot (x-5)$

Diese Funktion hat ihre Nullstellen bei $3$ und $5$ und daher ist auch $f_5$ eine Lösung.

Zusammenfassung

Die beiden richtigen Antworten sind $f_4(x)=42\cdot (x-5{)}^2$ und $f_5(x)=3\cdot (x-3)\cdot (x-5)$.