Gesucht ist eine quadratische Funktion f. Die Funktion soll eine Nullstelle bei 5 haben, deren Vielfachheit aber unbekannt ist. Welche der folgenden Funktionen kommt in Frage?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellenform
Die wichtigen Informationen aus der Angabe sind:
f ist eine quadratische Funktion, hat also Grad 2
f hat mindestens eine Nullstelle
5 ist eine Nullstelle, also f(5)=0
Jetzt kann systematisch vorgegangen werden:
Überprüfung der Grade
Die Funktion f1(x)=7⋅(x−5)⋅(x−8)⋅(x−8) hat Grad 3, kommt also nicht in Frage.Die restlichen Funktionen haben Grad 2, weil beim Ausmultiplizieren die höchste vorkommende Potenz 2 ist.
Überprüfung der Nullstelle
Wie du erkennen kannst, sind alle Antwortmöglichkeiten in der Nullstellenform. Also kannst du die Nullstellen der Funktionen aus ihren Termen ablesen.
Funktion: f2(x)=27⋅(x+18)⋅(x−9)
Die Nullstellen dieser Funktion sind −18 und 9. Da 5 keine Nullstelle ist, erfüllt f1 die Voraussetzungen nicht.
Funktion: f3(x)=34⋅(x+5)⋅(x+66)
Die Nullstellen dieser Funktion sind −5 und −66. Hier ist es wichtig auf die Vorzeichen in Klammern zu achten.
Diese Funktion erfüllt also die Voraussetzungen auch nicht.
Funktion: f4(x)=42⋅(x−5)2
Hier gibt es die doppelte Nullstelle bei 5, also ist f4 eine Lösung.
Funktion: f5(x)=3⋅(x−3)⋅(x−5)
Diese Funktion hat ihre Nullstellen bei 3 und 5 und daher ist auch f5 eine Lösung.
Zusammenfassung
Die beiden richtigen Antworten sind f4(x)=42⋅(x−5)2 und f5(x)=3⋅(x−3)⋅(x−5).