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Lineare Funktionen (By David Heck)

Dieser Artikel befindet sich im Sandkasten und wurde daher nicht auf Korrektheit geprüft! Sieh dir gern den folgenden, geprüften Artikel auf serlo.org an, wenn du mehr zum Thema wissen möchtest: lineare Funktionen

Definition:

Lineare Funktionen sind Geraden in einem Koordinatensystem. Diese Geraden nennt man auch Graph. Diese Graphen sind unendlich lang und können berechnet werden.

Bild

Die Variablen:

m steht für die Steigung des Graphen. Im oberen Beispiel ist m=0,5 oder m=12m=0{,}5\ oder\ m=\frac{1}{2}

x steht für eine beliebige Zahl auf der x-Achse.

n steht für den y-Achsenabschnitt (Der Punkt wo der Graph die y-Achse schneidet)

x1 und y1 stehen für einen Punkt im Koordinatensystem durch den der Graph durchgeht. Dasselbe gilt für x2 und y2. Diese beiden Punkte braucht man um den Graphen zu berechnen.

Berechnung der Variablen:

m wird berechnet durch die Formel :

m=y2y1x2x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} oder kürzer: m=ΔyΔxm=\frac{Δy}{Δx}

(Δ {ausgesprochen Delta} steht für eine Differenz). Wenn das getan ist, haben wir die Steigung.

Berechnen wir nun den y-Achsenabschnitt n :

n=y1mx1 oder n=y2mx2n=y1-m\cdot x1\ oder\ n=y2-m\cdot x2

Jetzt da wir die Variablen m und n berechnet haben, können wir die Funktionsgleichung aufstellen.

Aufstellen der Funktionsgleichung:

Die allgemeine Funktionsgleichung lautet:

f(x)=mx+nf\left(x\right)=m\cdot x+n

Da wir wissen, wofür die einzelnen Variablen stehen, können wir eine Funktionsgleichung aufstellen. Dafür müssen wir nur die eben ausgerechneten Variablen einsetzten. Als Beispiel:

m = 2 ; n = 4

Aus f(x)=mx+nf\left(x\right)=m\cdot x+n wird f(x)=2x+4f\left(x\right)=2\cdot x+4

Berechnung der Nullstellen:

Die Nullstelle wird dadurch berechnet, dass die Funktionsgleichung Null gesetzt wird.

Aus f(x)=2x+4f\left(x\right)=2\cdot x+4 wird dann 0=2x+40=2\cdot x+4

Dann löst man die Gleichung nach x auf. Das was x gleicht wird die Nullstelle sein.

0=2x+40=2\cdot x+4 |-4

4=2x-4=2\cdot x |:2

2=x-2=x

-2 gleicht x. Das heißt die Nullstelle von diesem Graphen wäre -2. Die Nullstelle wird folgendermaßen angegeben:

Die Nullstelle ist (-2|0).

Das Ablesen von der Steigung und der Nullstelle:

Das Ablesen anhand von zeichnerischen Lösungen ist recht simpel. Um m abzulesen geht man folgenderweise vor.

Man geht von einem gewissen Punkt im Koordinatensystem (vorzugsweise ein Gitterpunkt) eine Einheit nach rechts. Und dann geht man so lange nach oben / unten bis man auf den Graphen wieder trift. Und so viele Einheiten wie man zurück zum Graphen braucht, beträgt die Steigung. Daraus entsteht dann ein sogenanntes Steigungsdreieck. Als Beispiel:

Bild

In der Abbildung wird von dem Punkt (-2|0) eine Einheit nach rechts gegangen und darauf 2 Einheiten nach oben, um wieder auf den Graphen zu stoßen. Daraus kann man ablesen: m = 2. Müsste man nach unten gehen um wieder auf den Graphen zu treffen, würde das Ergebnis negativ sein. Das türkis-blaue Dreieck in der Abbildung demonstriert wie ein Steigungsdreieck aussehen könnte. Was ebenfalls abgelesen werden kann, ist der y-Achsenabschnitt und die Nullstelle. Diese beiden Punkte ließt man dadurch ab, dass man guckt wo der Graph die y-Achse und die x-Achse schneidet. Hier: n = 4 und Nullstelle = -2.

Ein Applet

Das hier ist ein Applet wo du den Graphen nach Lust und Laune anders ausrichten kannst. Somit kannst du dir vielleicht ein besseres Bild von Linearen Funktionen machen.

Hier kannst du m (die Steigung) einstellen, im Bereich von -30 bis 30.

Eine Aufgabe:

Um sicher zu gehen, dass du das Thema verstanden hast, kannst du jetzt noch eine von mir vorgegebene Aufgabe lösen.

Gegeben sind die Punkte (-3|-7) und (4|7). a) Berechne die Steigung m und den y-Achsenabschnitt n b) Stelle die Funktionsgleichung f(x) auf c) Berechne die Nullstelle

Wenn du diese Lösungen errechnet hast, dann herzlichen Glückwunsch! Du hast erfolgreich gelernt wie man Lineare Funktionen berechnet! Solltest du jedoch noch Schwierigkeiten haben, empfehle ich dir diesen Beitrag erneut durch zu lesen. Doch bloß nicht verzagen! Ich verlinke dir hier ein paar Videos mit denen du vielleicht das Thema ein wenig besser verstehst, falls dir meine Erklärung nicht weiter hilft.

In diesen Videos werden teilweise verschiedene Variabeln genutzt und andere Methoden. Such dir einfach die Variabeln aus mit denen es für dich am einfachsten ist. Dasselbe natürlich auch mit den Methoden.

Meine Quellen: https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Funktion Lambacher Schweizer 9 Mathematik für Gymnasien Das zweite Bild wurde selbst erstellt mit Geogebra

Das Geogebra Applet ist selbsterstellt ( https://www.geogebra.org/m/rhzhjeae )

YouTube (die verlinkten Videos)




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