Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

MfNF Test: Gleichungen

f(∑i=1n+1λi⋅Vvi)\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)==
↓

Summe aufteilen

==f((∑i=1nλi⋅Vvi)+V(λn+1⋅Vvn+1))\displaystyle f\left(\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)+_{_V}\left(\lambda_{n+1}\cdot_{_V}v_{n+1}\right)\right)
↓

Additivität von ff

==f(∑i=1nλi⋅Vvi)+Wf(λn+1⋅Vvn+1)\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)+_{_W}f\left(\lambda_{n+1}\cdot_{_V}v_{n+1}\right)
↓

Homogenität von ff

==f(∑i=1nλi⋅Vvi)+W(λn+1⋅Wf(vn+1))\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)+_{_W}\left(\lambda_{n+1}\cdot_{_W}f\left(v_{n+1}\right)\right)
(abc)\displaystyle \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}==a⋅(100)+b⋅(010)+c⋅(001)\displaystyle a\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + b\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + c\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}
==a⋅(14⋅(210)+14⋅(2−10))+b⋅(12⋅(210)−12⋅(2−10))+c⋅(001)\displaystyle a\cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) + b\cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) + c\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}
==a+2b4⋅(210)+a−2b4⋅(2−10)+c⋅(001)\displaystyle \frac{a + 2b}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \frac{a - 2b}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}
lim⁡n→∞cn\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n==lim⁡n→∞(1+1n+2)n\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^n
==lim⁡n→∞(1+1n+2)n+2−2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2-2}
==lim⁡n→∞(1+1n+2)n+2(1+1n+2)−2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{-2}
↓

Grenzwertsätze

==lim⁡n→∞(1+1n+2)n+2⋅lim⁡n→∞(1+1n+2)−2\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{-2}
==e⋅(1+0)−2\displaystyle e\cdot(1+0)^{-2}
==e\displaystyle e
∣ank−ak∣\displaystyle |a_n^k-a^k| ==
↓

Hilfsformel

==∣an−a∣⋅∣∑j=0k−1ank−1−jaj∣\displaystyle |a_n-a| \cdot |\sum\limits_{j=0}^{k-1} a_n^{k-1-j} a^j|
↓

Dreiecksungleichung

≤≤∣an−a∣⋅∑j=0k−1∣an∣k−1−j∣a∣j\displaystyle |a_n-a| \cdot \sum\limits_{j=0}^{k-1} |a_n|^{k-1-j} |a|^j
↓

(an)(a_n) beschränkt

≤≤∣an−a∣⋅∑j=0k−1Mk−1−j∣a∣j⏟=C\displaystyle |a_n-a| \cdot \underbrace{\sum\limits_{j=0}^{k-1} M^{k-1-j} |a|^j}_{=C}
<<ϵC⋅C\displaystyle \tfrac{\epsilon}{C} \cdot C
==ϵ\displaystyle \epsilon

Die Folge von Mitteln ((a1−a)+(a2−a)+…+(aN1−a)n) \left( \frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right) wird demnach für große N1>N N_1 > N durch Terme der Form ϵ2\tfrac{\epsilon}{2} dominiert und fällt irgendwann unter ϵ\epsilon. Dieses Argument kann man auch für Zahlen kleiner ϵ\epsilon verwenden. Z.B. gibt es ein N2∈NN_2 \in \N, so dass für alle N1≥N2N_1 \geq N_2 gilt:

∣(a1−a)+(a2−a)+…+(aN1−a)n∣<ϵ2\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}

Für alle n≥max⁡{N,N2}n \geq \max\{N,N_2\} folgt dann

∣a1+a2+…+ann−a∣\displaystyle \left|\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}-a\right|==∣a1+a2+…+ann−naa∣\displaystyle \left|\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n} - \frac{na}{a} \right|
==∣a1+a2+…+an−nan∣\displaystyle \left|\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n-na}{n}\right|
==∣a1+a2+…+an−(a+a+…+a⏞n-Mal)n∣\displaystyle \left|\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n-(\overbrace{a+a+\ldots +a}^{n\text{-Mal}})}{n}\right|
==∣(a1−a)+(a2−a)+…+(an−a)n∣\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_n-a)}{n}\right|
≤≤∣(a1−a)+(a2−a)+…+(aN−a)n∣⏞<ϵ2++∣(aN+1−a)+(aN+2−a)+…+(an−a)n∣\displaystyle \overbrace{\left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_N-a)}{n}\right|}^{<\frac{\epsilon}{2}} + \\ + \left|\frac{(a_{N+1}-a)+(a_{N+2}-a)+\ldots +(a_n-a)}{n}\right|
<<ϵ2+∣aN+1−a∣⏞<ϵ2+∣aN+2−a∣⏞ϵ2+…+∣an−a∣⏞<ϵ2n\displaystyle \frac{\epsilon}{2} + \frac{\overbrace{|a_{N+1}-a|}^{<\frac{\epsilon}{2}}+\overbrace{|a_{N+2}-a|}^{\frac{\epsilon}{2}}+\ldots +\overbrace{|a_n-a|}^{<\frac{\epsilon}{2}}}{n}
<<ϵ2+(n−N)ϵ2n\displaystyle \frac{\epsilon}{2} + \frac{(n-N)\frac{\epsilon}{2}}{n}
<<ϵ2+nϵ2n\displaystyle \frac{\epsilon}{2}+\frac{n\frac{\epsilon}{2}}{n}
==ϵ2+ϵ2\displaystyle \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}
==ϵ\displaystyle \epsilon
∣∑k=mn(−1)k+11k∣\displaystyle \left|\sum_{k=m}^n(-1)^{k+1}\frac{1}{k}\right|==∣(−1)m+11m+(−1)m+21m+1+(−1)m+31m+2+(−1)m+41m+3+(−1)m+51m+4+…∣\displaystyle \left| (-1)^{m+1} \frac 1{m} + (-1)^{m+2} \frac 1{m+1} + (-1)^{m+3} \frac{1}{m+2} + (-1)^{m+4} \frac{1}{m+3} + (-1)^{m+5} \frac{1}{m+4} + \ldots \right|
==∣(−1)m+1∣⏟=1∣1m−(1m+1−1m+2)⏟≤0−(1m+3−1m+4)⏟≤0−…⏟≤0⏞≥0∣\displaystyle \underbrace{\left| (-1)^{m+1} \right|}_{=1} | \overbrace{\frac 1{m} \underbrace{- (\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2})}_{\le 0} \underbrace{-(\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+4})}_{\le 0}\underbrace{-\ldots}_{\leq 0}}^{\geq 0} |
≤≤∣1m∣\displaystyle \left|\frac 1{m}\right|
==1m\displaystyle \frac 1m
∑k=0∞13k\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^k} ==∑k=0∞1k3k\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{1^k}{3^k}
==∑k=0∞(13)k\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k
↓

∑k=0∞(13)k=11−13=123=32\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{1-\frac 13} = \frac{1}{\frac 23} = \frac 32

==32\displaystyle \frac 32
∑k=0nqk\displaystyle \sum_{k=0}^nq^k==1+q+q2+⋯+qn\displaystyle 1+q+q^2+\dotsb+q^n
↓

beide Seiten mit qq multiplizieren

  ⟹   q⋅∑k=0nqk\displaystyle \implies\ q\cdot \sum_{k=0}^n q^k ==q+q2+q3+⋯+qn+1\displaystyle q+q^2+q^3+\dotsb+q^{n+1}
↓

zweite von erster Gleichung subtrahieren

  ⟹   ∑k=0nqk−q⋅∑k=0nqk\displaystyle \implies\ \sum_{k=0}^n q^k - q\cdot \sum_{k=0}^n q^k==(1+q+⋯+qn)−(q+q2+⋯+qn+1)\displaystyle (1+q+\dotsb+q^n)-(q+q^2+\dotsb+q^{n+1})
==1−qn+1\displaystyle 1-q^{n+1}
↓

links ∑k=0nqk\sum_{k=0}^n q^k ausklammern

  ⟹   (1−q)⋅∑k=0nqk\displaystyle \implies\ (1 - q) \cdot \sum_{k=0}^n q^k ==1−qn+1\displaystyle 1-q^{n+1}
↓

⋅11−q\cdot\frac1{1-q}, da q≠1q\neq 1

  ⟹   ∑k=0nqk\displaystyle \implies\ \sum_{k=0}^n q^k ==1−qn+11−q\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}

Nicht direkte übersetzbare Gleichung:

f(v1+v2⏟Addition)⏟Funktionsabbildung =f(v1)⏟Funktionsabbildung+f(v2)⏟Funktionsabbildung⏟Addition\displaystyle {\color{Green} \underbrace{f( {\color{Blue}\underbrace{v_1+v_2}_{\text{Addition}}} )}_{\text{Funktionsabbildung }}}={\color{Blue}\underbrace{ {\color{Green}\underbrace{f(v_1)}_{\text{Funktionsabbildung}}} + {\color{Green}\underbrace{f(v_2)}_{\text{Funktionsabbildung}}} }_{\text{Addition}}}

Im Gleichungspluggin

f(v1+v2⏟Addition)⏟Funktionsabbildung \displaystyle {\color{Green} \underbrace{f( {\color{Blue}\underbrace{v_1+v_2}_{\text{Addition}}} )}_{\text{Funktionsabbildung }}}==f(v1)⏟Funktionsabbildung+f(v2)⏟Funktionsabbildung⏟Addition\displaystyle {\color{Blue}\underbrace{ {\color{Green}\underbrace{f(v_1)}_{\text{Funktionsabbildung}}} + {\color{Green}\underbrace{f(v_2)}_{\text{Funktionsabbildung}}} }_{\text{Addition}}}

Nicht übersetzbare Gleichung:

e1=∑i=1nai1ci⋮en=∑i=1nainci\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rl} e_1 =& \sum_{i=1}^n a_{i_1} c_i\\ \vdots& \\ e_n =& \sum_{i=1}^n a_{i_n} c_i \end{array}

Das Gleiche als Gleichung übertragen:

e1\displaystyle e_1==∑i=1nai1ci\displaystyle \sum_{i=1}^na_{i_1}c_i
⋮\displaystyle \vdots==⋮\displaystyle \vdots
en\displaystyle e_n==∑i=1nainci\displaystyle \sum_{i=1}^na_{i_n}c_i

16b\frac{1}{\frac{6}{b}}

a17c\displaystyle \frac{\frac{a}{17}}{c}
a17c a17 c a17 c  a17  c\displaystyle \frac{\tfrac{a}{17}}{c} \qquad \frac{\,\tfrac{a}{17}\,}{c} \qquad \frac{\ \tfrac{a}{17}\ }{c}\qquad \frac{\ \ \frac{a}{17}\ \ }{c}

(1−23)=3⋅(111)−5⋅(110)+3⋅(100)(00−1)=−1⋅(111)+1⋅(110)+0⋅(100)(211)=1⋅(111)+0⋅(110)+1⋅(100)\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{ccrcrcr}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}&=& 3\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}&-&5\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}&+&3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \\\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}&=&-1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}&+& 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}&+& 0\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}&=& 1\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} &+& 0\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}&+& 1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\end{array}
(1−23)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}==3⋅(111)−5⋅(110)+3⋅(100)\displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-5\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
(00−1)\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}==−1⋅(111)+1⋅(110)+0⋅(100)\displaystyle -1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+ 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}+ 0\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
(211)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}==1⋅(111)+0⋅(110)+1⋅(100)\displaystyle 1\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+ 1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}

Summe in der Zeile ∑i=1nai1ci\sum_{i=1}^na_{i_1}c_i

Summe in eigener Zeile

∑i=1nai1ci\displaystyle \sum_{i=1}^na_{i_1}c_i

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?