MfNF Test: Gleichungen - lernen mit Serlo!

$\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)$	$=$
	↓	Summe aufteilen
	$=$	$\displaystyle f\left(\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)+_{_V}\left(\lambda_{n+1}\cdot_{_V}v_{n+1}\right)\right)$
	↓	Additivität von $f$
	$=$	$\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)+_{_W}f\left(\lambda_{n+1}\cdot_{_V}v_{n+1}\right)$
	↓	Homogenität von $f$
	$=$	$\displaystyle f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_i\cdot_{_V}v_i\right)+_{_W}\left(\lambda_{n+1}\cdot_{_W}f\left(v_{n+1}\right)\right)$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle a\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} + b\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + c\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle a\cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \frac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\right) + b\cdot \left( \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) + c\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \frac{a + 2b}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix} + \frac{a - 2b}{4} \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} + c \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n$	$=$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^n$
	$=$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2-2}$
	$=$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{-2}$
	↓	Grenzwertsätze
	$=$	$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\cdot\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{-2}$
	$=$	$\displaystyle e\cdot(1+0)^{-2}$
	$=$	$\displaystyle e$

$\displaystyle \|a_n^k-a^k\|$	$=$
	↓	Hilfsformel
	$=$	$\displaystyle \|a_n-a\| \cdot \|\sum\limits_{j=0}^{k-1} a_n^{k-1-j} a^j\|$
	↓	Dreiecksungleichung
	$≤$	$\displaystyle \|a_n-a\| \cdot \sum\limits_{j=0}^{k-1} \|a_n\|^{k-1-j} \|a\|^j$
	↓	$(a_n)$ beschränkt
	$≤$	$\displaystyle \|a_n-a\| \cdot \underbrace{\sum\limits_{j=0}^{k-1} M^{k-1-j} \|a\|^j}_{=C}$
	$<$	$\displaystyle \tfrac{\epsilon}{C} \cdot C$
	$=$	$\displaystyle \epsilon$

Die Folge von Mitteln $\left( \frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right)$ wird demnach für große $N_1 > N$ durch Terme der Form $\tfrac{\epsilon}{2}$ dominiert und fällt irgendwann unter $\epsilon$ . Dieses Argument kann man auch für Zahlen kleiner $\epsilon$ verwenden. Z.B. gibt es ein $N_2 \in \N$ , so dass für alle $N_1 \geq N_2$ gilt:

\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}

Für alle $n \geq \max\{N,N_2\}$ folgt dann

$\displaystyle \left\|\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}-a\right\|$	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n}{n} - \frac{na}{a} \right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n-na}{n}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{a_1+a_2+\ldots +a_n-(\overbrace{a+a+\ldots +a}^{n\text{-Mal}})}{n}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_n-a)}{n}\right\|$
	$≤$	$\displaystyle \overbrace{\left\|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_N-a)}{n}\right\|}^{<\frac{\epsilon}{2}} + \\ + \left\|\frac{(a_{N+1}-a)+(a_{N+2}-a)+\ldots +(a_n-a)}{n}\right\|$
	$<$	$\displaystyle \frac{\epsilon}{2} + \frac{\overbrace{\|a_{N+1}-a\|}^{<\frac{\epsilon}{2}}+\overbrace{\|a_{N+2}-a\|}^{\frac{\epsilon}{2}}+\ldots +\overbrace{\|a_n-a\|}^{<\frac{\epsilon}{2}}}{n}$
	$<$	$\displaystyle \frac{\epsilon}{2} + \frac{(n-N)\frac{\epsilon}{2}}{n}$
	$<$	$\displaystyle \frac{\epsilon}{2}+\frac{n\frac{\epsilon}{2}}{n}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}$
	$=$	$\displaystyle \epsilon$

$\displaystyle \left\|\sum_{k=m}^n(-1)^{k+1}\frac{1}{k}\right\|$	$=$	$\displaystyle \left\| (-1)^{m+1} \frac 1{m} + (-1)^{m+2} \frac 1{m+1} + (-1)^{m+3} \frac{1}{m+2} + (-1)^{m+4} \frac{1}{m+3} + (-1)^{m+5} \frac{1}{m+4} + \ldots \right\|$
	$=$	$\displaystyle \underbrace{\left\| (-1)^{m+1} \right\|}_{=1} \| \overbrace{\frac 1{m} \underbrace{- (\frac{1}{m+1} - \frac{1}{m+2})}_{\le 0} \underbrace{-(\frac{1}{m+3}-\frac{1}{m+4})}_{\le 0}\underbrace{-\ldots}_{\leq 0}}^{\geq 0} \|$
	$≤$	$\displaystyle \left\|\frac 1{m}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \frac 1m$

$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^k}$	$=$	$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{1^k}{3^k}$
	$=$	$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^k$
	↓	$\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{3}\right)^k = \frac{1}{1-\frac 13} = \frac{1}{\frac 23} = \frac 32$
	$=$	$\displaystyle \frac 32$

$\displaystyle \sum_{k=0}^nq^k$	$=$	$\displaystyle 1+q+q^2+\dotsb+q^n$
	↓	beide Seiten mit $q$ multiplizieren
$\displaystyle \implies\ q\cdot \sum_{k=0}^n q^k$	$=$	$\displaystyle q+q^2+q^3+\dotsb+q^{n+1}$
	↓	zweite von erster Gleichung subtrahieren
$\displaystyle \implies\ \sum_{k=0}^n q^k - q\cdot \sum_{k=0}^n q^k$	$=$	$\displaystyle (1+q+\dotsb+q^n)-(q+q^2+\dotsb+q^{n+1})$
	$=$	$\displaystyle 1-q^{n+1}$
	↓	links $\sum_{k=0}^n q^k$ ausklammern
$\displaystyle \implies\ (1 - q) \cdot \sum_{k=0}^n q^k$	$=$	$\displaystyle 1-q^{n+1}$
	↓	$\cdot\frac1{1-q}$ , da $q\neq 1$
$\displaystyle \implies\ \sum_{k=0}^n q^k$	$=$	$\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$

Nicht direkte übersetzbare Gleichung:

\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}

Im Gleichungspluggin

\displaystyle {\color{Green} \underbrace{f( {\color{Blue}\underbrace{v_1+v_2}_{\text{Addition}}} )}_{\text{Funktionsabbildung }}}

=

\displaystyle {\color{Blue}\underbrace{ {\color{Green}\underbrace{f(v_1)}_{\text{Funktionsabbildung}}} + {\color{Green}\underbrace{f(v_2)}_{\text{Funktionsabbildung}}} }_{\text{Addition}}}

Nicht übersetzbare Gleichung:

\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}

Das Gleiche als Gleichung übertragen:

$\displaystyle e_1$	$=$	$\displaystyle \sum_{i=1}^na_{i_1}c_i$
$\displaystyle \vdots$	$=$	$\displaystyle \vdots$
$\displaystyle e_n$	$=$	$\displaystyle \sum_{i=1}^na_{i_n}c_i$

$\frac{1}{\frac{6}{b}}$

\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}

\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}

\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}

$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}-5\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle -1\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}+ 1\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\0\end{pmatrix}+ 0\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$
$\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 1\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + 0\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+ 1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

Summe in der Zeile $\sum_{i=1}^na_{i_1}c_i$

Summe in eigener Zeile

\displaystyle \left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\ldots +(a_{N_1}-a)}{n}\right| < \frac{\epsilon}{2}