MfNF Test: Gleichungen

$f (\sum_{i = 1}^{n + 1} λ_{i} \cdot_{_{V}} v_{i})$	$=$
	↓	Summe aufteilen
	$=$	$f ((\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot_{_{V}} v_{i}) +_{_{V}} (λ_{n + 1} \cdot_{_{V}} v_{n + 1}))$
	↓	Additivität von $f$
	$=$	$f (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot_{_{V}} v_{i}) +_{_{W}} f (λ_{n + 1} \cdot_{_{V}} v_{n + 1})$
	↓	Homogenität von $f$
	$=$	$f (\sum_{i = 1}^{n} λ_{i} \cdot_{_{V}} v_{i}) +_{_{W}} (λ_{n + 1} \cdot_{_{W}} f (v_{n + 1}))$

$(\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array})$	$=$	$a \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + b \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + c \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
	$=$	$a \cdot (\frac{1}{4} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + \frac{1}{4} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})) + b \cdot (\frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) - \frac{1}{2} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})) + c \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$
	$=$	$\frac{a + 2 b}{4} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + \frac{a - 2 b}{4} \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array}) + c \cdot (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})$

$\lim_{n \to \infty} c_{n}$	$=$	$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n + 2})}^{n}$
	$=$	$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n + 2})}^{n + 2 - 2}$
	$=$	$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n + 2})}^{n + 2} {(1 + \frac{1}{n + 2})}^{- 2}$
	↓	Grenzwertsätze
	$=$	$\lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n + 2})}^{n + 2} \cdot \lim_{n \to \infty} {(1 + \frac{1}{n + 2})}^{- 2}$
	$=$	$e \cdot (1 + 0)^{- 2}$
	$=$	$e$

$\| a_{n}^{k} - a^{k} \|$	$=$
	↓	Hilfsformel
	$=$	$\| a_{n} - a \| \cdot \| \sum_{j = 0}^{k - 1} a_{n}^{k - 1 - j} a^{j} \|$
	↓	Dreiecksungleichung
	$\leq$	$\| a_{n} - a \| \cdot \sum_{j = 0}^{k - 1} \| a_{n} \|^{k - 1 - j} \| a \|^{j}$
	↓	$(a_{n})$ beschränkt
	$\leq$	$\| a_{n} - a \| \cdot \underset{= C}{\underset{⏟}{\sum_{j = 0}^{k - 1} M^{k - 1 - j} \| a \|^{j}}}$
	$<$	$\frac{ϵ}{C} \cdot C$
	$=$	$ϵ$

Die Folge von Mitteln $(\frac{(a_{1} - a) + (a_{2} - a) + \dots + (a_{N_{1}} - a)}{n})$ wird demnach für große $N_{1} > N$ durch Terme der Form $\frac{ϵ}{2}$ dominiert und fällt irgendwann unter $ϵ$ . Dieses Argument kann man auch für Zahlen kleiner $ϵ$ verwenden. Z.B. gibt es ein $N_{2} \in ℕ$ , so dass für alle $N_{1} \geq N_{2}$ gilt:

| \frac{(a_{1} - a) + (a_{2} - a) + \dots + (a_{N_{1}} - a)}{n} | < \frac{ϵ}{2}

Für alle $n \geq \max {N, N_{2}}$ folgt dann

$\| \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} - a \|$	$=$	$\| \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n} - \frac{n a}{a} \|$
	$=$	$\| \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} - n a}{n} \|$
	$=$	$\| \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} - (\overset{n -Mal}{\overset{⏞}{a + a + \dots + a}})}{n} \|$
	$=$	$\| \frac{(a_{1} - a) + (a_{2} - a) + \dots + (a_{n} - a)}{n} \|$
	$\leq$	$\overset{< \frac{ϵ}{2}}{\overset{⏞}{\| \frac{(a_{1} - a) + (a_{2} - a) + \dots + (a_{N} - a)}{n} \|}} + + \| \frac{(a_{N + 1} - a) + (a_{N + 2} - a) + \dots + (a_{n} - a)}{n} \|$
	$<$	$\frac{ϵ}{2} + \frac{\overset{< \frac{ϵ}{2}}{\overset{⏞}{\| a_{N + 1} - a \|}} + \overset{\frac{ϵ}{2}}{\overset{⏞}{\| a_{N + 2} - a \|}} + \dots + \overset{< \frac{ϵ}{2}}{\overset{⏞}{\| a_{n} - a \|}}}{n}$
	$<$	$\frac{ϵ}{2} + \frac{(n - N) \frac{ϵ}{2}}{n}$
	$<$	$\frac{ϵ}{2} + \frac{n \frac{ϵ}{2}}{n}$
	$=$	$\frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2}$
	$=$	$ϵ$

$\| \sum_{k = m}^{n} (- 1)^{k + 1} \frac{1}{k} \|$	$=$	$\| (- 1)^{m + 1} \frac{1}{m} + (- 1)^{m + 2} \frac{1}{m + 1} + (- 1)^{m + 3} \frac{1}{m + 2} + (- 1)^{m + 4} \frac{1}{m + 3} + (- 1)^{m + 5} \frac{1}{m + 4} + \dots \|$
	$=$	$\underset{= 1}{\underset{⏟}{\| (- 1)^{m + 1} \|}} \| \overset{\geq 0}{\overset{⏞}{\frac{1}{m} \underset{\leq 0}{\underset{⏟}{- (\frac{1}{m + 1} - \frac{1}{m + 2})}} \underset{\leq 0}{\underset{⏟}{- (\frac{1}{m + 3} - \frac{1}{m + 4})}} \underset{\leq 0}{\underset{⏟}{- \dots}}}} \|$
	$\leq$	$\| \frac{1}{m} \|$
	$=$	$\frac{1}{m}$

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{3^{k}}$	$=$	$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1^{k}}{3^{k}}$
	$=$	$\sum_{k = 0}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{k}$
	↓	$\sum_{k = 0}^{\infty} {(\frac{1}{3})}^{k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}$
	$=$	$\frac{3}{2}$

$\sum_{k = 0}^{n} q^{k}$	$=$	$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n}$
	↓	beide Seiten mit $q$ multiplizieren
$⟹ q \cdot \sum_{k = 0}^{n} q^{k}$	$=$	$q + q^{2} + q^{3} + \dots + q^{n + 1}$
	↓	zweite von erster Gleichung subtrahieren
$⟹ \sum_{k = 0}^{n} q^{k} - q \cdot \sum_{k = 0}^{n} q^{k}$	$=$	$(1 + q + \dots + q^{n}) - (q + q^{2} + \dots + q^{n + 1})$
	$=$	$1 - q^{n + 1}$
	↓	links $\sum_{k = 0}^{n} q^{k}$ ausklammern
$⟹ (1 - q) \cdot \sum_{k = 0}^{n} q^{k}$	$=$	$1 - q^{n + 1}$
	↓	$\cdot \frac{1}{1 - q}$ , da $q \neq 1$
$⟹ \sum_{k = 0}^{n} q^{k}$	$=$	$\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$

Nicht direkte übersetzbare Gleichung:

\underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (\underset{Addition}{\underset{⏟}{v_{1} + v_{2}}})}} = \underset{Addition}{\underset{⏟}{\underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (v_{1})}} + \underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (v_{2})}}}}

Im Gleichungspluggin

\underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (\underset{Addition}{\underset{⏟}{v_{1} + v_{2}}})}}

=

\underset{Addition}{\underset{⏟}{\underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (v_{1})}} + \underset{Funktionsabbildung}{\underset{⏟}{f (v_{2})}}}}

Nicht übersetzbare Gleichung:

\begin{aligned} e_{1} = & \sum_{i = 1}^{n} a_{i_{1}} c_{i} \\ ⋮ \\ e_{n} = & \sum_{i = 1}^{n} a_{i_{n}} c_{i} \end{aligned}

Das Gleiche als Gleichung übertragen:

$e_{1}$	$=$	$\sum_{i = 1}^{n} a_{i_{1}} c_{i}$
$⋮$	$=$	$⋮$
$e_{n}$	$=$	$\sum_{i = 1}^{n} a_{i_{n}} c_{i}$

$\frac{1}{\frac{6}{b}}$

\frac{\frac{a}{17}}{c}

\frac{\frac{a}{17}}{c} \frac{\frac{a}{17}}{c} \frac{\frac{a}{17}}{c} \frac{\frac{a}{17}}{c}

\begin{array}{ccrcrcr} (\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array}) & = & 3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) & - & 5 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) & + & 3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) & = & - 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) & + & 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) & + & 0 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \\ (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}) & = & 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) & + & 0 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) & + & 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) \end{array}

$(\begin{array}{c} 1 \\ - 2 \\ 3 \end{array})$	$=$	$3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) - 5 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + 3 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$	$=$	$- 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$
$(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array})$	$=$	$1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}) + 0 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + 1 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})$

Summe in der Zeile $\sum_{i = 1}^{n} a_{i_{1}} c_{i}$

Summe in eigener Zeile

\sum_{i = 1}^{n} a_{i_{1}} c_{i}

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