In diesem Kurs werden die quadratischen Gleichungen in vier verschiedene Typen eingeteilt. Zu jedem Typ findest du eine Animation, mit deren Hilfe der jeweilige Lösungsweg schrittweise erklärt und grafisch veranschaulicht wird.

Dieser Kurs eignet sich zur Wiederholung und zur Vertiefung deiner Kenntnisse zu quadratischen Gleichungen - ebenso aber auch zur selbstständigen Erarbeitung.

Folgende Typen werden unterschieden:

• Reinquadratische Gleichung

• Typ Nullprodukt 1 und Typ Nullprodukt 2

• Typ Scheitelform

• Gemischtquadratische Gleichung

Grundwissen:

• Du kennst den Zusammenhang zwischen quadratischen Funktionen und den zugehörigen Schaubildern (Parabeln).

• Du weißt, dass man eine Gleichung durch den Schnitt zweier Schaubilder veranschaulichen kann. Jede Seite der Gleichung lässt sich dabei als Funktion mit einem passenden Schaubild interpretieren. Die x-Werte der Schnittpunkte sind genau die Lösungen der Gleichung.

• Wenn auf einer Seite der Gleichung die Null steht, sucht man die Nullstellen der passenden Funktion zur anderen Seite der Gleichung.

• Du kennst den Satz vom Nullprodukt und weißt daher, dass ein Produkt genau dann null ist, wenn (mindestens) ein Faktor null ist.

• Du kennst die Scheitelform einer quadratischen Funktion.

• Du kennst die Vorfahrtsregeln beim Vereinfachen von Termen (Klammer vor Hoch vor Punkt vor Strich).

Eine allgemeine quadratische Gleichung in der Summenform besteht aus drei Summanden:

• einem quadratischen Summanden ("mit $x^{2}x^2$"),

• einem linearen Summanden ("mit $xx$") und

• einem konstanten Summanden ("ohne $xx$"):

$a{x}^2+bx+c=0ax^2+bx+c=0$ (allgemeine quadratische Gleichung)

Eine reinquadratische Gleichung erkennst du leicht daran, dass der lineare Summand ("mit $xx$") fehlt, also $b=0b=0$ ist. Der konstante Summand wird hier oft auch mit e bezeichnet. Die reinquadratische Gleichung hat somit die Form:

$a{x}^2+c=0ax^2+c=0$ (reinquadratische Gleichung) - oft auch $a{x}^2+e=0ax^2+e=0$

Reinquadratische Gleichungen löst man geschickt durch Wurzel ziehen.

In der folgenden Animation kannst du die Gleichung mit Hilfe der Schieberegler für a und e verändern.

Klicke oben links auf die grüne Schaltfläche und mache dir die Lösungsschritte für reinquadratische Gleichungen klar.

Beim Typ Nullprodukt 1 fehlt der konstante Summand der quadratischen Gleichung. Dieser Typ hat die Form:

$a{x}^2+bx=0ax^2+bx=0$ (Typ Nullprodukt 1) - oft auch $a{x}^2=-bxax^2=-bx$

Quadratische Gleichungen vom Typ Nullprodukt 1 löst man geschickt, indem man alle Summanden auf eine Seite bringt, x ausklammert und anschließend den Satz vom Nullprodukt anwendet. (Eine Lösung ist hier immer null).

Mit der folgenden Animation kannst du wieder die Vorfaktoren a und b ändern. Lasse dir die Lösungsschritte mit der Schaltfläche oben links der Reihe nach anzeigen.

Der Typ Nullprodukt 2 hat die Form:

$a(x-u)(x-v)=0a(x-u)(x-v)=0$

Beim Typ Nullprodukt 2 muss man nur die Nullstellen der so genannten "Linearfaktoren" berechnen. Oft funktioniert das im Kopf - notfalls mit einer kleinen Nebenrechnung.

Tipp: Kontrolliere deine Lösungen mit Hilfe einer Probe.

Quadratische Gleichungen vom Typ Nullprodukt 2 löst man geschickt mit dem Satz vom Nullprodukt. Berechne hierzu die Nullstellen der beiden Linearfaktoren.

Der Typ Scheitelform hat die Form:

$a(x-e{)}^2+d=0a(x-e)^2+d=0$

Eine Seite der Gleichung erinnert uns hier an eine quadratische Funktion in der Scheitelform. (Wir können somit den Scheitel der zugehörigen Parabel direkt aus der Gleichung ablesen).

Quadratische Gleichungen vom Typ Scheitelform lösen wir geschickt durch Rückwärtsrechnen. Dabei kehren wir die Reihenfolge der Vorfahrtsregeln um.

Alternativ kannst du auch die Klammer mit einer binomischen Formel ausmultiplizieren und die linke Seite zusammenfassen. Auf diese Weise erhältst du in der Regel eine gemischtquadratische Gleichung (Typ 4). Dieser Weg ist in der Regel jedoch deutlich länger und schwieriger. Mache dir das an einem Beispiel klar (siehe Aufgaben zum Typ 4).

Gemischtquadratische Gleichungen enthalten alle drei Typen von Summanden der allgemeinen Form:

$a{x}^2+bx+c=0ax^2+bx+c=0$ (gemischtquadratische Gleichung)

Gemischtquadratische Gleichungen lösen wir mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder alternativ mit der pq-Formel. (Die pq-Formel wird in der folgenden Animation nicht veranschaulicht).

Hinweis: Gemischtquadratische Gleichungen kannst du auch mit der quadratischen Ergänzung in den Typ Scheitelform (Typ 3) überführen. (Siehe Aufgaben zum Typ 4).