Ähnlichkeit von Dreiecken

SSS-Satz

Gegeben sind alle Seitenlängen der beiden Dreiecke. Sie sind ähnlich, sobald alle Seitenverhältnisse gleich sind. Es gilt:

• $\frac{a^{\mathrm{\prime }}}{a}=\frac{\mathrm{5,25}}{\mathrm{3,5}}=\mathrm{1,5}\backslash frac\{a\text{'}\}\{a\}=\backslash frac\{5\{,\}25\}\{3\{,\}5\}=1\{,\}5$

• $\frac{b^{\mathrm{\prime }}}{b}=\frac{9}{6}=\mathrm{1,5}\backslash frac\{b\text{'}\}\{b\}=\backslash frac\{9\}\{6\}=1\{,\}5$

• $\frac{c^{\mathrm{\prime }}}{c}=\frac{6}{4}=\mathrm{1,5}\backslash frac\{c\text{'}\}\{c\}=\backslash frac\{6\}\{4\}=1\{,\}5$

Die Seitenverhältnisse sind gleich, damit sind die Dreiecke ähnlich und besitzen den Ähnlichkeitsfaktor $k=\mathrm{1,5}k=1\{,\}5$.

WW-Satz

Stimmen zwei Dreiecke in zwei ihrer Winkel überein, sind sie ähnlich.

• $\alpha ={\alpha }^{\mathrm{\prime }}=38\mathrm{°}\backslash alpha=\backslash alpha\text{'}=38°$

• $\gamma ={\gamma }^{\mathrm{\prime }}=47\mathrm{°}\backslash gamma=\backslash gamma\text{'}=47°$

Da diese Winkel übereinstimmen, sind die Dreiecke ähnlich. Aufgrund der Winkelsumme stimmen auch $\beta \backslash beta$ und ${\beta }^{\mathrm{\prime }}\backslash beta\text{'}$ überein.

SWS-Satz

Wir überprüfen zwei Seitenverhältnisse und den Winkel, der zwischen den gegebenen Seiten liegt.

• $\frac{{\beta }^{\mathrm{\prime }}}{\beta }=\frac{9}{6}=\mathrm{1,5}\backslash frac\{\backslash beta\text{'}\}\{\backslash beta\}=\backslash frac\{9\}\{6\}=1\{,\}5$

• $\frac{a^{\mathrm{\prime }}}{a}=\frac{\mathrm{5,25}}{\mathrm{3,5}}=\mathrm{1,5}\backslash frac\{a\text{'}\}\{a\}=\backslash frac\{5\{,\}25\}\{3\{,\}5\}=1\{,\}5$

• $\gamma ={\gamma }^{\mathrm{\prime }}=47\mathrm{°}\backslash gamma=\backslash gamma\text{'}=47°$

$\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Die Dreiecke sind ähnlich.

SsW-Satz

Wir überprüfen wieder zwei Seitenverhältnisse und den Winkel, der gegenüber von der längeren Seite liegt.

• $\frac{{\beta }^{\mathrm{\prime }}}{\beta }=\frac{9}{6}=\mathrm{1,5}\backslash frac\{\backslash beta\text{'}\}\{\backslash beta\}=\backslash frac\{9\}\{6\}=1\{,\}5$

• $\frac{a^{\mathrm{\prime }}}{a}=\frac{\mathrm{5,25}}{\mathrm{3,5}}=\mathrm{1,5}\text{}\backslash frac\{a\text{'}\}\{a\}=\backslash frac\{5\{,\}25\}\{3\{,\}5\}=1\{,\}5$

• $\beta =\beta \text{′}=95\mathrm{°}\backslash beta=\backslash beta\prime =95°$