Restklassen

Wenn du beliebige ganze Zahlen durch $n$ teilst, erhältst du höchstens $n$ verschiedene Reste. Denn für den Rest $r$ gilt stets $0\le r<n$. Alle Zahlen, die den gleichen Rest ergeben, fasst du in einer Menge zusammen, der sogenannten Restklasse.

Wenn beispielsweise der Modul $n=3$ vorgegeben ist, so besteht die Restklasse $\overline{8}$ aus allen ganzen Zahlen, die kongruent zu $8$ modulo $3$ sind, nämlich

Dies sind alle ganzen Zahlen, die denselben Rest wie $8$ bei Division durch $3$ ergeben, nämlich den Rest $2$.

Wichtig ist, dass du immer den jeweiligen Modul $n$ im Hinterkopf behältst, wenn du von Restklassen redest. Bevor du alles dieses hier gelesen hast, kanntest du bereits zwei Restklassen: die geraden und die ungeraden Zahlen.

Denn für den Modul $n=2$ gibt es genau zwei Restklassen: diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch 2 den Rest 0 ergeben (die geraden Zahlen) und diejenigen ganzen Zahlen, die bei Division durch 2 den Rest 1 ergeben (die ungeraden Zahlen).

Mit Restklassen rechnen

Bei vorgegebenem Modul $n$ addierst du zwei Restklassen, indem du einfach aus jeder Restklasse eine beliebige Zahl entnimmst, diese beiden Zahlen addierst und die zugehörige Restklasse bildest. Zum Beispiel ist bei vorgegebenem Modul $n=3$

Du entnimmst beispielsweise $-1$ und $11$ aus der Restklasse $\overline{8}$, addierst die beiden Zahlen und landest in der Restklasse $\overline{10}$. Einfacher ist es noch, einfach beidesmal die $8$ zu entnehmen, sodass gilt

Nun fragst du dich sicher: Was ist denn nun richtig? Kommt $\overline{10}$ heraus oder $\overline{16}$ ? Die Antwort ist: Beides ist richtig, denn bei vorgegebenem Modul $n=3$ gilt

Allgemein gilt

Die Restklassen $\overline{a}$ und $\overline{b}$ addierst du, indem du $a$ und $b$ addierst und vom Ergebnis $a+b$ die Restklasse $\overline{a+b}$ bildest.

Das Ganze funktioniert auch mit der Multiplikation:

Die Restklassen $\overline{a}$ und $\overline{b}$ multiplizierst du, indem du $a$ und $b$multiplizierst und vom Ergebnis $a\cdot b$ die Restklasse $\overline{a\cdot b}$ bildest.

Struktur der Restklassen

Das Rechnen mit Restklassen ist interessant: Die Operanden sind Mengen, und Addition und Multiplikation dieser Mengen sind auf eine ganz bestimmte Weise definiert.

Vielleicht ist es für dich neu, dass das vertraute Plus und Mal plötzlich anders definiert ist. Eigentlich müsste man neue Rechenzeichen hierfür erfinden. Aber so viele verschiedene Zeichen gibt es nicht, und daher kommt es auf die Operanden an, wie die Addition bzw. Multiplikation interpretiert wird.

Die mathematische Struktur, die dabei herauskommt ist ein Ring mit Eins, bzw. wenn $n$ eine Primzahl ist, sogar ein Körper.

Der Ring ${\mathbb{Z}}_n$​

Dieselbe Struktur erhältst du, wenn du die Menge

mit den Operationen Addition modulo $n$ und Multiplikation modulo $n$ betrachtest.

Hierbei bedeutet Addition modulo $n$, dass du zwei Zahlen zunächst addierst und das Ergebnis modulo $n$ reduzierst:

Entsprechendes gilt für die Multiplikation modulo $n$:

Es ist sehr viel angenehmer, in ${\mathbb{Z}}_n$​ als mit Restklassen zu rechnen. Du rechnest ganz normal mit Zahlen und nicht mit Mengen, und die scheinbare Mehrdeutigkeit, dass zum Beispiel $\overline{10}=\overline{16}$ ist, entfällt.