Stellen lokal stärkster Zu-&Abnahme - lernen mit Serlo!

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Gegeben ist die Funktion f mit dem Graphen , der Definitionsmenge und dem Funktionsterm .

Bestimme die Koordinaten der Punkte, an denen die lokale Änderungsrate den Wert 1 hat.

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Die erste Ableitung lautet
Gleichung lösen
Gesucht sind die Lösungen der Gleichung
Mithilfe der Mitternachtsformel finden sich die Lösungen:
und somit 0,5 und .
Koordinaten
Da die Punkte gefragt sind und nicht die Stellen, müssen noch die y-Werte berechnet werden:

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Die lokale Änderungsrate wird mithilfe der 1. Ableitung berechnet. Es sind also die Lösungen der Gleichung gesucht
Untersuche, ob es eine Stelle lokal stärkster Zu- oder Abnahme gibt.

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Die zweite Ableitung lautet
Nullstellen der 2. Ableitung
Art der Extremstelle über 3. Ableitung
Mithilfe der 3. Ableitung lässt sich die Art der Extremstelle von bestimmen.
Setze die Nullstelle der 2. Ableitung ein:
Tiefpunkt von
Lage des Tiefpunkts
Setze nun noch in ein, um zu überprüfen, ob der Tiefpunkt von unterhalb der x-Achse liegt. Nur dann handelt es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme (sonst: lokal schwächste Zunahme).
Tiefpunkt unterhalb der x Achse Stelle lokal stärkster Abnahme.
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Ein Hochpunkt von , der oberhalb der x-Achse liegt, ist eine Stelle lokal stärkster Zunahme. Ein Tiefpunkt unterhalb der x-Achse ist eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Die Kandidaten für Extrempunkte der 1. Ableitung sind die Nullstellen der 2. Ableitung.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

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