Ableiten

Die erste Ableitung lautet $f^{\prime }\left(x\right)=6x^2+3x-2$

Gleichung lösen

Gesucht sind die Lösungen der Gleichung

Mithilfe der Mitternachtsformel finden sich die Lösungen:

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 6\cdot (-3)}}{2\cdot 6}$ und somit $x_1=$0,5 und $x_2=-1$.

Koordinaten

Da die Punkte gefragt sind und nicht die Stellen, müssen noch die y-Werte berechnet werden:

$f\left(\mathrm{0,5}\right)=\mathrm{2,625}\Rightarrow P_1(\mathrm{0,5}|\mathrm{2,625})$

$f(-1)=\mathrm{4,5}$ $\Rightarrow P_2(-1|\mathrm{4,5})$

Ableiten

Die zweite Ableitung lautet $f^{\prime \prime }(x)=12x+3$

Nullstellen der 2. Ableitung

Art der Extremstelle über 3. Ableitung

Mithilfe der 3. Ableitung lässt sich die Art der Extremstelle von $G_{f^{\prime }}$ bestimmen.

$f^{\prime \prime \prime }(x)=12$

Setze die Nullstelle der 2. Ableitung ein:

$f^{\prime \prime \prime }(-\frac{1}{4})=12>0\Rightarrow$ Tiefpunkt von $G_{f^{\prime }}$

Lage des Tiefpunkts

Setze $x=-\frac{1}{4}$ nun noch in $f^{\prime }$ ein, um zu überprüfen, ob der Tiefpunkt von $G_{f^{\prime }}$ unterhalb der x-Achse liegt. Nur dann handelt es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme (sonst: lokal schwächste Zunahme).

$f^{\prime }(-\frac{1}{4})=-\mathrm{2,375}<0\Rightarrow$ Tiefpunkt unterhalb der x Achse $\Rightarrow$ Stelle lokal stärkster Abnahme.