Ableiten

Die erste Ableitung lautet $f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=6x^2+3x-2f\text{'}\backslash left(x\backslash right)=6x^2+3x-2$

Gleichung lösen

Gesucht sind die Lösungen der Gleichung

Mithilfe der Mitternachtsformel finden sich die Lösungen:

$x_{\mathrm{1,2}}=\frac{-3\pm \sqrt{3^2-4\cdot 6\cdot (-3)}}{2\cdot 6}x\_\{1\{,\}2\}=\backslash frac\{-3\backslash pm\backslash sqrt\{3^2-4\backslash cdot6\backslash cdot\backslash left(-3\backslash right)\}\}\{2\backslash cdot6\}$ und somit $x_1=x\_1=$0,5 und $x_2=-1x\_2=-1$.

Koordinaten

Da die Punkte gefragt sind und nicht die Stellen, müssen noch die y-Werte berechnet werden:

$f\left(\mathrm{0,5}\right)=\mathrm{2,625}\Rightarrow P_1(\mathrm{0,5}\mathrm{\mid }\mathrm{2,625})f\backslash left(0\{,\}5\backslash right)=2\{,\}625\backslash \; \backslash Rightarrow\; P\_1(0\{,\}5|2\{,\}625)$

$f(-1)=\mathrm{4,5}f\backslash left(-1\backslash right)=4\{,\}5$ $\Rightarrow P_2(-1\mathrm{\mid }\mathrm{4,5})\backslash Rightarrow\; P\_2(-1|4\{,\}5)$

Ableiten

Die zweite Ableitung lautet $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12x+3f\text{'}\text{'}(x)=12x+3$

Nullstellen der 2. Ableitung

Art der Extremstelle über 3. Ableitung

Mithilfe der 3. Ableitung lässt sich die Art der Extremstelle von $G_{f^{\mathrm{\prime }}}G\_\{f\text{'}\}$ bestimmen.

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=12f\text{'}\text{'}\text{'}(x)=12$

Setze die Nullstelle der 2. Ableitung ein:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-\frac{1}{4})=12>0\Rightarrow f\text{'}\text{'}\text{'}(-\backslash frac\; 1\; 4)=12\; >0\; \backslash Rightarrow$ Tiefpunkt von $G_{f^{\mathrm{\prime }}}G\_\{f\text{'}\}$

Lage des Tiefpunkts

Setze $x=-\frac{1}{4}x=-\backslash frac\; 1\; 4$ nun noch in $f^{\mathrm{\prime }}f\text{'}$ ein, um zu überprüfen, ob der Tiefpunkt von $G_{f^{\mathrm{\prime }}}G\_\{f\text{'}\}$ unterhalb der x-Achse liegt. Nur dann handelt es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme (sonst: lokal schwächste Zunahme).

Tiefpunkt unterhalb der x Achse $\Rightarrow \backslash Rightarrow$ Stelle lokal stärkster Abnahme.