Stellen lokal stärkster Zu-&Abnahme

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Gegeben ist die Funktion f mit dem Graphen $G_f$ , der Definitionsmenge $D=\mathbb{R}$ und dem Funktionsterm $f\left(x\right)=2x^3+1{,}5x^2-2x+3$ .

Bestimme die Koordinaten der Punkte, an denen die lokale Änderungsrate den Wert 1 hat.

Ableiten

Die erste Ableitung lautet $f'\left(x\right)=6x^2+3x-2$

Gleichung lösen

Gesucht sind die Lösungen der Gleichung

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 6x^2+3x-2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle 6x^2+3x-3$	$=$	$\displaystyle 0$

Mithilfe der Mitternachtsformel finden sich die Lösungen:

$x_{1{,}2}=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot6\cdot\left(-3\right)}}{2\cdot6}$ und somit $x_1=$ 0,5 und $x_2=-1$ .

Koordinaten

Da die Punkte gefragt sind und nicht die Stellen, müssen noch die y-Werte berechnet werden:

$f\left(0{,}5\right)=2{,}625\ \Rightarrow P_1(0{,}5|2{,}625)$

$f\left(-1\right)=4{,}5$ $\Rightarrow P_2(-1|4{,}5)$

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Die lokale Änderungsrate wird mithilfe der 1. Ableitung berechnet. Es sind also die Lösungen der Gleichung $f'\left(x\right)=1$ gesucht

Untersuche, ob es eine Stelle lokal stärkster Zu- oder Abnahme gibt.

Ableiten

Die zweite Ableitung lautet $f''(x)=12x+3$

Nullstellen der 2. Ableitung

$\displaystyle f''(x)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 12x+3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 12x$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle :12$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\frac 1 4$

Art der Extremstelle über 3. Ableitung

Mithilfe der 3. Ableitung lässt sich die Art der Extremstelle von $G_{f'}$ bestimmen.

$f'''(x)=12$

Setze die Nullstelle der 2. Ableitung ein:

$f'''(-\frac 1 4)=12 >0 \Rightarrow$ Tiefpunkt von $G_{f'}$

Lage des Tiefpunkts

Setze $x=-\frac 1 4$ nun noch in $f'$ ein, um zu überprüfen, ob der Tiefpunkt von $G_{f'}$ unterhalb der x-Achse liegt. Nur dann handelt es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme (sonst: lokal schwächste Zunahme).

$f'(-\frac 1 4)=-2{,}375<0\Rightarrow$ Tiefpunkt unterhalb der x Achse $\Rightarrow$ Stelle lokal stärkster Abnahme.

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Ein Hochpunkt von $G_{f'}$ , der oberhalb der x-Achse liegt, ist eine Stelle lokal stärkster Zunahme. Ein Tiefpunkt unterhalb der x-Achse ist eine Stelle lokal stärkster Abnahme.

Die Kandidaten für Extrempunkte der 1. Ableitung sind die Nullstellen der 2. Ableitung.