7Bestimmen der Funktionsgleichung bei gegebenen Graphen

Ermittle zum folgenden Graphen $G_{f}G\_f$ der Funktion $ff$ eine Funktionsgleichung.

Schritt 1

Zeichne eine Parallele zur x-Achse ein, von der die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen gleich weit entfernt sind. Diese Parallele nennt man Mittellinie.

Schritt 2

Suche einen Schnittpunkt S von $G_{f}G\_f$ und der Mittellinie, so dass $G_{f}G\_f$ in der Umgebung von S steigt und der in sich in der Nähe der y-Achse befindet (Nur nötig, damit Lösung eindeutig ist). Diesen Schnittpunkt nennt man auch Startpunkt S.

Schritt 3

Nun kann man die Parameter folgendermaßen bestimmen:

• a: Der Abstand, den die Hoch- bzw. Tiefpunkte von der Mittellinie haben, ist a. Diesen Abstand nennt man Amplitude.

• Vom Punkt S (oder von einem Hochpunkt oder von einem Tiefpunkt) ausgehend bestimmt man die Periode p und damit den Parameter b mit $b=\frac{2\pi }{p}b=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{p\}$.

• c: |c| ist der Abstand von S zur y-Achse. Dabei ist c positiv, wenn S links von der y-Achse liegt, und c ist negativ, wenn S rechts von der y-Achse liegt. Bemerkung: c ist nicht eindeutig bestimmbar, da es mehrere Möglichkeiten für den Startpunkt gibt.

• d: Die Verschiebung von S in y-Richtung ist d.

Schritt 4

Aufstellen der Funktionsgleichung

$y=a\cdot \sin [b\cdot (x+c)]+d=\mathrm{1,5}\cdot \sin [1\cdot (x+(-\frac{\pi }{3})]+1=\mathrm{1,5}\cdot \sin (x-\frac{\pi }{3})+1]y=a\backslash cdot\backslash sin[b\backslash cdot(x+c)]+d=1\{,\}5\backslash cdot\backslash sin\backslash left[1\backslash cdot\backslash left(x+\backslash left(-\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash right)\backslash right]+1=1\{,\}5\backslash cdot\backslash sin\backslash left(x-\backslash frac\{\backslash pi\}\{3\}\backslash right)+1\backslash right]$

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