Rechnen mit Logarithmen

Du willst Folgendes beweisen:

Hierzu benutzt du zwei einfache Logarithmen-Formeln, die du vielleicht kennst:

1. $x=2^{{\log }_{2}x}$

2. $(2^x{)}^y=2^{x\cdot y}$

Den Beweis des Satzes führst du in fünf Schritten.

Schritt 1:

Als Erstes benutzt du die Logarithmen-Formel Nr. 1 und setzt für die Zahl $x=3$ den Ausdruck $2^{{\log }_{2}3}$ ein:

$3^{{\log }_{2}n}=(2^{{\log }_{2}3}{)}^{{\log }_{2}n}$

Schritt 2:

Nun benutzt du die Logarithmen-Formel Nr. 2 und schreibst du weiter:

$3^{{\log }_{2}n}=(2^{{\log }_{2}3}{)}^{{\log }_{2}n}=2^{{\log }_{2}3\cdot {\log }_{2}n}$

Schritt 3:

Und nun wendest du im Exponenten das Kommutativgesetz an und schreibst weiter:

$3^{{\log }_{2}n}=(2^{{\log }_{2}3}{)}^{{\log }_{2}n}=2^{{\log }_{2}3\cdot {\log }_{2}n}=2^{{\log }_{2}n\cdot {\log }_{2}3}$

Schritt 4:

Jetzt wickelst du die Schritte 2 und 1 rückwärts ab. Zunächst benutzt du die Logarithmen-Formel Nr. 2:

$3^{{\log }_{2}n}=(2^{{\log }_{2}3}{)}^{{\log }_{2}n}=2^{{\log }_{2}3\cdot {\log }_{2}n}=2^{{\log }_{2}n\cdot {\log }_{2}3}=(2^{{\log }_{2}n}{)}^{{\log }_{2}3}$

Schritt 5:

Zum Schluss wendest du noch einmal die Logarithmen-Formel Nr. 1 an:

$3^{{\log }_{2}n}=(2^{{\log }_{2}3}{)}^{{\log }_{2}n}=2^{{\log }_{2}3\cdot {\log }_{2}n}=2^{{\log }_{2}n\cdot {\log }_{2}3}=(2^{{\log }_{2}n}{)}^{{\log }_{2}3}=n^{{\log }_{2}3}$

Fertig!

Noch ein anderer Beweis

Du nimmst auf beiden Seiten der Gleichung den Logarithmus und zeigst:

${\log }_2(3^{{\log }_{2}n})={\log }_2(n^{{\log }_{2}3})$

Die Logarithmus-Funktion ist injektiv; dies bedeutet, dass wenn die Funktionswerte gleich sind, dann sind auch die Operanden gleich. Damit gilt dann der oben angegebene Satz.

Für den Beweis benutzt du wiederum eine Logarithmen-Formel, die du vielleicht kennst:

1. ${\log }_2(a^b)={\log }_2(a)\cdot b$

Den Beweis führst du in drei Schritten.

Schritt 1:

Als erstes wendest du die Logarithmen-Formel an:

${\log }_2(3^{{\log }_{2}n})={\log }_{2}3\cdot {\log }_{2}n$

Schritt 2:

Dann wendest du das Kommunikativgesetz an und schreibst weiter:

${\log }_2(3^{{\log }_{2}n})={\log }_{2}3\cdot {\log }_{2}n={\log }_{2}n\cdot {\log }_{2}3$

Schritt 3:

Und dann wendest du die Logarithmen-Formel noch einmal rückwärts an und schreibst weiter:

${\log }_2(3^{{\log }_{2}n})={\log }_{2}3\cdot {\log }_{2}n={\log }_{2}n\cdot {\log }_{2}3={\log }_2(n^{{\log }_{2}3})$

Fertig!