5Berechnung einfacher Logarithmen

Der Logarithmus einer Zahl $bb$ zur Basis $aa$ lässt sich ohne Rechner nur dann bestimmen, wenn die Basis $aa$ und die Zahl $bb$ beide (ganzzahlige) Potenzen einer gemeinsamen Zahl $cc$ sind.

Hört sich das kompliziert an? Ist aber gar nicht so schlimm.

Was du dann machst, wird am Beispiel ${\log }_4(8)\backslash log\_4(8)$ erklärt.

Allgemeines Verfahren

$a=4a=4$ ist die Basis, die Frage ist, welche Potenz von $44$ den Wert $b=8b=8$ hat.

Finde nun eine Zahl $cc$, so dass sowohl $44$ wie auch $88$ Potenzen dieser Zahl sind.

Die beste Wahl ist $c=2c=2$, denn $4=2^{2}4=2^2$ und $8=2^{3}8=2^3$ sind ganzzahlige Potenzen von $22$.

Erinnere dich, dass $x={\log }_4(8)x=\backslash log\_4(8)$ diejenige Zahl ist, die $4^x=84^x=8$ löst.

Damit fängst du einfach an:

Damit hast du ${\log }_{4}8=\frac{3}{2}\backslash log\_4\{8\}=\backslash frac\{3\}\{2\}$ berechnet.

Ein Logarithmus aus der Seite "Erste Beispiele"

Bestimme ${\log }_{\frac{1}{9}}(3)\backslash log\_\backslash frac\{1\}\{9\}(3)$.

Vorüberlegung: Der Kehrwert von $\frac{1}{9}\backslash frac\{1\}\{9\}$ ist $99$, und das ist $3^{2}3^2$. Damit ist $\frac{1}{9}=3^{-2}\backslash frac\{1\}\{9\}=3^\{-2\}$.

Als gemeinsame Zahl $cc$ kann man also die $33$ verwenden.

Damit hast du ${\log }_{\frac{1}{9}}(3)=-\frac{1}{2}\backslash log\_\backslash frac\{1\}\{9\}(3)=-\backslash frac\{1\}\{2\}$ berechnet.

Vorschlag:

Wenn du dir noch nicht sicher bist, rechne die anderen Logarithmen der Ersten Beispiele mit dieser Methode selbst aus.