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5Berechnung einfacher Logarithmen

Der Logarithmus einer Zahl bb zur Basis aa lässt sich ohne Rechner nur dann bestimmen, wenn die Basis aa und die Zahl bb beide (ganzzahlige) Potenzen einer gemeinsamen Zahl cc sind.

Hört sich das kompliziert an? Ist aber gar nicht so schlimm.

Was du dann machst, wird am Beispiel log4(8)\log_4(8) erklärt.

Allgemeines Verfahren

a=4a=4 ist die Basis, die Frage ist, welche Potenz von 44 den Wert b=8b=8 hat.

Finde nun eine Zahl cc, so dass sowohl 44 wie auch 88 Potenzen dieser Zahl sind.

Die beste Wahl ist c=2c=2, denn 4=224=2^2 und 8=238=2^3 sind ganzzahlige Potenzen von 22.

Erinnere dich, dass x=log4(8)x=\log_4(8) diejenige Zahl ist, die 4x=84^x=8 löst.

Damit fängst du einfach an:

4x\displaystyle 4^x==8\displaystyle 8

Benutze, dass beide Zahlen Potenzen von 22 sind

(22)x\displaystyle (2^2)^x==23\displaystyle 2^3

Verwende (rs)t=rst(r^s)^t=r^{s\cdot t}

22x\displaystyle 2^{2x}==23\displaystyle 2^3

Vergleiche die Exponenten

2x\displaystyle 2x==3\displaystyle 3

Löse auf

x\displaystyle x==32\displaystyle \frac{3}{2}

Damit hast du log48=32\log_4{8}=\frac{3}{2} berechnet.

Ein Logarithmus aus der Seite "Erste Beispiele"

Bestimme log19(3)\log_\frac{1}{9}(3).

Vorüberlegung: Der Kehrwert von 19\frac{1}{9} ist 99, und das ist 323^2. Damit ist 19=32\frac{1}{9}=3^{-2}.

Als gemeinsame Zahl cc kann man also die 33 verwenden.

(19)x\displaystyle \left(\frac{1}{9}\right)^x==3\displaystyle 3

Ersetze 19\frac{1}{9} durch 323^{-2} und 33 durch 313^1

(32)x\displaystyle (3^{-2})^x==31\displaystyle 3^1

Verwende (rs)t=rst(r^s)^t=r^{s\cdot t}

32x\displaystyle 3^{-2x}==31\displaystyle 3^1

Vergleiche die Exponenten

2x\displaystyle -2x==1\displaystyle 1

Löse auf

x\displaystyle x==12\displaystyle -\frac{1}{2}

Damit hast du log19(3)=12\log_\frac{1}{9}(3)=-\frac{1}{2} berechnet.

Vorschlag:

Wenn du dir noch nicht sicher bist, rechne die anderen Logarithmen der Ersten Beispiele mit dieser Methode selbst aus.


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