5Berechnung einfacher Logarithmen

Der Logarithmus einer Zahl $b$ zur Basis $a$ lässt sich ohne Rechner nur dann bestimmen, wenn die Basis $a$ und die Zahl $b$ beide (ganzzahlige) Potenzen einer gemeinsamen Zahl $c$ sind.

Hört sich das kompliziert an? Ist aber gar nicht so schlimm.

Was du dann machst, wird am Beispiel $\log_4(8)$ erklärt.

Allgemeines Verfahren

$a=4$ ist die Basis, die Frage ist, welche Potenz von $4$ den Wert $b=8$ hat.

Finde nun eine Zahl $c$, so dass sowohl $4$ wie auch $8$ Potenzen dieser Zahl sind.

Die beste Wahl ist $c=2$, denn $4=2^2$ und $8=2^3$ sind ganzzahlige Potenzen von $2$.

Erinnere dich, dass $x=\log_4(8)$ diejenige Zahl ist, die $4^x=8$ löst.

Damit fängst du einfach an:

Damit hast du $\log_4{8}=\frac{3}{2}$ berechnet.

Ein Logarithmus aus der Seite "Erste Beispiele"

Bestimme $\log_\frac{1}{9}(3)$.

Vorüberlegung: Der Kehrwert von $\frac{1}{9}$ ist $9$, und das ist $3^2$. Damit ist $\frac{1}{9}=3^{-2}$.

Als gemeinsame Zahl $c$ kann man also die $3$ verwenden.

Damit hast du $\log_\frac{1}{9}(3)=-\frac{1}{2}$ berechnet.

Vorschlag:

Wenn du dir noch nicht sicher bist, rechne die anderen Logarithmen der Ersten Beispiele mit dieser Methode selbst aus.