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8Rechenregeln

Hier sind die wichtigsten Rechenregeln zusammengestellt.

MerkeGrundlagen
MerkeSumme und Differenz von Logarithmen

Beispiele

  1. log2(16)=log2(28)=log2(2)+log2(8)=1+3=4\log_2(16)=\log_2(2\cdot8)=\log_2(2)+\log_2(8)=1+3=4, \\denn wegen 21=22^1=2 ist log2(2)=1\log_2(2)=1 und wegen 23=82^3=8 ist log2(8)=3\log_2(8)=3. \\Weil 24=162^4=16 ist, ist auch der linken Seite log2(16)=4\log_2(16)=4 und die Gleichung stimmt.

  2. log3(6)=log5(23)=log5(2)+log5(3)\log_3(6)=\log_5(2\cdot3)=\log_5(2)+\log_5(3)

  3. log3(13)=1\log_3(\frac{1}{3})=-1, da 31=133^{-1}=\frac{1}{3} ist.\\log3(3)=1\log_3(3)=1 (klar, nicht wahr?) und wegen 32=93^2=9 ist log3(9)=2\log_3(9)=2. \\Die Gleichung 13=39\frac{1}{3}=\frac{3}{9} ist dann mit Logarithmen\\1=log3(13)=log3(39)=log3(3)log3(9)=12=1-1=\log_3(\frac{1}{3})=\log_3(\frac{3}{9})=\log_3(3)-\log_3(9)=1-2=-1

Vorsicht

Es gibt keine allgemeine Regel für loga(b±c)\log_a(b\pm c)!

MerkeVielfache von Logarithmen und Logarithmen von Potenzen

Für alle reellen Zahlen rr gilt

Insbesondere ist für r=1r=-1

Beispiele

  1. Wegen 43/2=84^{3/2}=8 ist log4(8)=32\log_4(8)=\frac{3}{2}.

  2. Daher ist log4(18)=32\log_4(\frac{1}{8})=-\frac{3}{2}

  3. log4(8)\log_4(8) kann man jetzt auch berechnen, indem man 8=64=641/28=\sqrt{64}=64^{1/2} und 444=43=644\cdot4\cdot4=4^3=64 benutzt:\\aus log4(64)=3\log_4(64)=3 folgt log4(8)=log4(641/2)=12log4(64)=123=32\log_4(8)=\log_4(64^{1/2})=\frac{1}{2}\log_4(64)=\frac{1}{2}\cdot3=\frac{3}{2}


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