Wir haben bereits bei der Darstellung des Phänomens Magnetismus (siehe Link) und

der Definition der Magnetischen Flußdichte $BB$ mit der Kraftwirkung $FF$ auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld hingewiesen.

In nachfolgendem Kurs soll zunächst aufgezeigt werden, inwieweit dies ebenso auf frei bewegliche einzelne Ladungen $qq$ (siehe skizzenhafte Darstellung Abb. 1) ausserhalb eines elektrischen Leiters gilt.

Um die Tragweite dieser entstehenden Kräfte, der sogenannten Lorentz-Kraft vollständig darzustellen, fassen wir alle gesammelten Erkenntnisse zusammen und verweisen auf den technisch wie praktischen Nutzen in unserem Alltag

1) Die Ladung $QQ$

Mit Herleitung und Definition des Coulombschen Gesetzes (siehe LINK) haben wir uns bereits mit dem Ladungsbegriff auseinandergesetzt.

Die kleinste vorkommende Ladung genannt auch Elementarladung $ee$ (Elektron $e_{-}e\_-$, Proton $e_{+}e\_+$), beträgt exakt $\mathrm{\mid }e\mathrm{\mid }=\mathrm{1,602176634}\cdot {10}^{-19}C|e|\; =\; 1\{,\}602176634\backslash cdot\{10^\{-19\}\}C$ (für Coulomb). Dieser Wert ist negativ bei Elektronen, positiv bei Protonen

Die Einheit C wurde benannt nach Charles Augustin des Coulomb (siehe WIKIPEDIA).

Für den Ausdruck von Ladungen oftmals verwendet werden die Variablen $QQ$ oder $qq$.

Wir einigen uns an dieser Stelle an eine übliche Verwendung insofern . . .

• eine einzelne Ladung mit $q=eq=e$ (Elementarladung) bezeichnet wird, ob nun positiv oder negativ.

• als Unterscheidung eine Vielzahl dieser "Einzel"- oder Elementarladungen mit $Q=n\cdot qQ\; =\; n\backslash cdot\{q\}$ beschrieben werden. Alles klar?

2) Elektrischer Strom $II$

Ein "Strom" (hier $II$) ist ein Fluß von etwas. Der Elektrische Strom $II$ ist dementsprechend definiert, welche Ladungsmenge $QQ$ innerhalb einer bestimmten Zeit $tt$ fließt.

Als Formel ausgedrückt:

$I={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }t}}I\; =\; \backslash dfrac\{\Delta Q\}\{\Delta t\}$

Einheit: $[I]={\displaystyle \frac{As}{s}}=A[I]=\; \backslash dfrac\{As\}\{s\}=A$

1) Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter

Wir drücken die Magnetische Flußdichte aus mit: $B={\displaystyle \frac{F}{I\cdot s}}B\; =\; \backslash dfrac\{F\}\{I\backslash cdot\{s\}\}$

Die Kraftwirkung $FF$ des Magnetischen Feldes umgestellt somit: $F=I\cdot s\cdot BF\; =\; I\backslash cdot\{s\}\backslash cdot\{B\}$

2) Kraft auf eine bewegte Ladung q

In der Formel zu Ermittlung der der Kraft aus eben,

ersetzen wir In nächsten Schritten nun $II$ und $ss$:

1. Den Strom $I={\displaystyle \frac{Q}{t}}={\displaystyle \frac{n\cdot q}{t}}I\; =\backslash dfrac\{Q\}\{t\}=\backslash dfrac\{n\backslash cdot\{q\}\}\{t\}$ und

2. Die Geschwindigkeit: $v=v\; =$ Weg $ss$ pro Zeit $tt$; Somit der Weg $s=v\cdot ts\; =\; v\backslash cdot\{t\}$

3. . . . eingesetzt, erhalten wir: $F=I\cdot s\cdot B={\displaystyle \frac{n\cdot q}{t}}\cdot v\cdot t\cdot B=n\cdot q\cdot v\cdot B=Q\cdot v\cdot BF\; =\; I\backslash cdot\{s\}\backslash cdot\{B\}=\; \backslash dfrac\{n\backslash cdot\{q\}\}\{\backslash textcolor\{ff6600\}t\}\backslash cdot\{v\}\backslash cdot\{\backslash textcolor\{ff6600\}t\}\backslash cdot\{B\}=\; n\backslash cdot\{q\}\backslash cdot\{v\}\backslash cdot\{B\}=Q\backslash cdot\{v\}\backslash cdot\{B\}$

Bewegt sich eine Elementarladung $e_{-}e\_-$ (Elektron) oder $e_{+}e\_+$ (Proton) mit der Geschwindigkeit $vv$ in ein vorherrschendes Magnetisches Feld der Flußdichte $BB$ ($vv$ ⊥ $BB$) wird durch die auftretende Lorentz-Kraft . . .

. . . das sich bewegende Elektron nach unten sowie

. . . das sich bewegende Proton nach oben abgelenkt

Dieses Phänomen ist in nachfolgender Abb. 2 exemplarisch dargestellt:

Ermittlung der Richtung der Lorentz-Kraft

Um die jeweilige Richtung der Lorentz-Kraft einfach zu ermitteln, verwenden wir unsere rechte oder linke Hand. Betrachten wir sich bewegende Elektronen ($e_{-}e\_-$) so benutzen wir unsere linke Hand, im anderen Fall für Protonen ($e_{+}e\_+$) unsere rechte Hand. Beispielhaft hierzu die nachfolgende Abb. 3:

• Die jeweils ausgestreckten Finger geben die Bewegungsrichtung mit der Geschwindigkeit $vv$ an

• Die gebeugten Finger die Ausrichtung des $BB$-Feldes (in unserem Falle von "Nord nach Süd", also von rechts nach links)

• Der ausgestreckte Daumen die sich ergebenden Kraftrichtung $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$, in einem Fall für Elektronen $F_{e-}F\_\{e-\}$, andererseit für Protonen $F_{e+}F\_\{e+\}$

Kreisförmige Bewegungen im Magnetfeld

Wir können aus den bislang dargestellten Bahnbewegungen von Elektronen oder Protonen im Magnetfeld eine kreisförmige Ablenkung aufgrund der Lorentz-Kraft erkennen.

Interessant deshalb für uns an dieser Stelle, wie sich eine Elementarladung generell innerhalb eines ausgedehnten Magnetfeldes der Magnetischen Flußdichte $\vec{B}\backslash vec\{B\}$ (Vektorschreibweise!) bewegt. Können wir möglicherweise generell eine kreisförmige Bewegung ableiten?

In diesem Kurs hatten wir bislang angenommen, die Geschwindigkeit $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ verliefe immer senkrecht zur Magnetischen Flußdichte ($\vec{v}\backslash vec\{v\}$ ⊥ $\vec{B}\backslash vec\{B\}$).

Nachfolgend werden wir neben dieser bisherigen Annahme (1) ebenso den Bahnverlauf von Elementarladungen $qq$ betrachten, wenn dem nicht so ist (2).

1) Geschwindigkeit $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ senkrecht zum Magnetfeld $\vec{B}\backslash vec\{B\}$

Für unsere weiteren Untersuchungen gehen wir deshalb zunächst davon aus,

• . . . dass sich eine Elementarladung $qq$, beispielweise ein Proton $e_{+}e\_+$ bereits innerhalb eines Magnetfeldes befindet,

• . . . des weiteren die Bewegungsrichtung der Geschwindigkeit $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ zunächst absolut senkrecht zu den magnetischen Feldlinien $\vec{B}\backslash vec\{B\}$ verläuft (siehe nachfolgende Abb. 4)

2) Geschwindigkeit $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ nicht senkrecht zum Magnetfeld $\vec{B}\backslash vec\{B\}$ ($v\mathrm{\ne }\text{⊥}B)v\ne \perp B)$

Für unseren etwas geänderten Gedankengang nun folgendes,

• . . . wiederum befindet sich eine hier positive Elementarladung $e_{+}e\_+$ (Proton) bereits innerhalb eines Magnetfeldes $\vec{B}\backslash vec\{B\}$,

• . . . geändert nun allerdings die Bewegungsrichtung der Geschwindigkeit $\vec{v}\backslash vec\{v\}$, nun nicht senkrecht zu den magnetischen Feldlinien $\vec{B}\backslash vec\; \{B\}$ (siehe nachfolgende Abb. 5).

Bislang haben wir uns im vorliegenden Kurs mit der Kraftwirkung $$ auf mit der Geschwindigkeit $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ bewegte punktuelle elektrische Ladungen ($qq$ bzw. $QQ$) beschäftigt.

Um die spätere praktische Verwendbarkeit der Lorenz-Kraft ${\vec{F}}_{Lorentz}\backslash vec\{F\}\_\{Lorentz\}$ vollständig erfassen zu können, widmen wir uns ergänzend den Kraftwirkungen auf Leiter und Leiterschleifen, also frei beweglichen Ladungen in elektrischen Leitern, in einem Magnetischen Feld der Flußdichte $\vec{B}\backslash vec\{B\}$.

Bereits mit der Ableitung und Definition der Magnetischen Flußdichte $\vec{B}\backslash vec\{B\}$ haben wir die Kraftwirkung auf stromdurchflossene elektrische Leiter kennengelernt. (siehe LINK)

1) Die Kraftwirkung auf ein bewegliches Leiterstück

2) Die Kraftwirkung auf eine bewegliche Leiterschleife

Grundsätzliches:

Alle bewegten Ladungen $qq$ erfahren im Magnetfeld $BB$ eine Kraftwirkung $F_{Lorentz}F\_\{Lorentz\}$

1. Seien es mit Strom $II$ durchflossene Leiter (also darin sich bewegende Ladungen $qq$ pro Zeit $tt$) der Länge $ss$ gemäß der Formel: $F_{Lorentz}=I\cdot s\cdot BF\_\{Lorentz\}\; =\; I\backslash cdot\{s\}\backslash cdot\{B\}$

   • wirksame Leiterlänge: $ss$ ⊥ $BB$-Feld

   • hier beispielsweise ohne Vektorschreibweise

2. . . . oder mit Geschwindigkeit $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ bewegten Ladungen $qq$ gemäß der Formel: ${\vec{F}}_{Lorentz}=q\cdot \vec{v}\cdot \vec{B}\backslash vec\{F\}\_\{Lorentz\}=q\backslash cdot\{\backslash vec\{v\}\}\backslash cdot\{\backslash vec\{B\}\}$

   • Geschwindigkeitsanteil $\vec{v}\backslash vec\{v\}$ ⊥ $\vec{B}\backslash vec\{B\}$-Feld

   • hier beispielsweise in Vektorschreibweise

Praktische Verwendung:

• Anwendungen in der Ablenkung von Ladungen

• Anwendungen in der Kraftwirkung auf Leiterstücke

• Anwendungen in der Kraft- und Drehbewegung auf Leiterschleifen/Spulen

Quellen:

• https://pixabay.com

• Bilder in Eigenkonstruktion