Mathedidaktik beschäftigt sich mit der Frage, wie man Lernenden mathematische Inhalte vermitteln kann.

Im Zentrum der Überlegungen stehen dabei also die Lernenden!

Dieser Artikel soll beim Erstellen von Inhalten auf Serlo helfen.

Leitfragen für Autor*innen

  • Für wen schreibe ich?
  • Wie erkläre und formuliere ich?
  • Welche Schwierigkeiten könnten die Lerner*innen haben?
  • Was ist nötig, um einen Begriff tatsächlich verstehen zu können?

Wer lernt hier?

Serlo stellt Lerninhalte für Schüler*innen aller weiterführenden Schularten und Klassenstufen zur Verfügung. Es hängt also vom spezifischen Lerninhalt ab, welche Altersstufe angesprochen wird; z.B. wird der größte gemeinsame Teiler in der Jahrgangsstufe 5, das uneigentliche Integral jedoch erst in der 12. Klasse des Gymnasiums durchgenommen. Dementsprechend müssen die Artikel unterschiedlich formuliert werden: Je jünger die/der Lernende, desto einfacher und kleinschrittiger muss die Erklärung sein. Bei älteren Nutzer*innen soll hingegen auch Fachsprache korrekt verwendet werden.

Der erste Schritt für Autor*innen ist also, den Lerninhalt mit Lehrplänen abzugleichen. Da Bildung Ländersache ist, gibt es viele verschiedene Lehrpläne. Sie unterscheiden sich meist jedoch nur geringfügig; wichtig für die/den Autor*in ist vor allem:

Lernen den Inhalt, über den ich schreiben möchte, Schüler*innen der Unter-, Mittel- oder Oberstufe?

Wichtige Prinzipien der Mathedidaktik

Altersunabhängig gibt es verschiedene bewährte Prinzipien der Mathedidaktik. Dazu gehören der intermodale Transfer (auch "E-I-S-Prinzip") und das Wissen um den Konzeptwechsel (auch "Conceptual Change").

Im Folgenden werden die Prinzipien (auch anhand von praktischen Beispielen) erklärt. Man kann sich als Autor*in an den Prinzipien orientieren und sie im Inhalt umsetzen.

Grundvorstellungen

Es gibt verschiedene Grundvorstellungen zu jedem Begriff und jeder Rechenoperation. Nur wenn alle Grundvorstellungen beherrscht werden, können Lernende jede Aufgabe gut lösen. Daher sollte man bei Aufgabenstellungen darauf achten, welche Grundvorstellungen Lernende in dieser Aufgabe leisten müssen und evtl. in der Lösung gezielt darauf eingehen.

Beispiele

Grundvorstellung der Addition:

  • Hinzufügen -> In einer Kiste liegen 4 Klötzchen. Später werden noch 2 Klötzchen dazugelegt. Wie viele Klötzchen sind dann in der Kiste?

  • Zusammenfügen -> Es liegen 7 Tennisbälle und 2 Golfbälle zusammen in einer Kiste. Wie viele Bälle liegen in der Kiste?

Grundvorstellungen der Subtraktion:

  • Wegnehmen -> In einer Kiste liegen 4 Klötzchen. Später werden 2 Klötzchen herausgenommen. Wie viele Klötzchen sind dann in der Kiste?

  • Ergänzen -> In eine Kiste passen 9 Klötzchen. Es liegen bereits 3 Klötzchen in der Kiste. Wie viele können noch dazugelegt werden?

  • Vergleichen -> In einer lila Kiste liegen 15 Klötzchen, in einer orangen Kiste liegen 7 Klötzchen. Wie viele Bälle mehr liegen in der lila Kiste als in der orangen?

Grundvorstellungen der Multiplikation:

  • Fortgesetztes Hinzufügen -> Ein Kind legt 5 Äpfel in eine Schale, ein weiteres Kind legt nochmal 5 dazu, das nächste Kind legt wieder 5 hinein usw.

  • Rechteckfeld -> In einem Spielkarton sind 3 Reihen mit jeweils 8 Dominosteinen.

  • Skalieren -> 1----5----10----15----20----25----30--- … 5er Sprünge auf dem Zahlenstrahl

  • Multiplikativer Vergleich -> Ein Elefant ist 3 mal so groß wie ein Nilpferd.

  • Multiplikative Kombination von Größen -> Ein Mädchen hat 3 Röcke und 5 Blusen. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten hat sie?

Grundvorstellungen der Division:

  • Verteilen -> 15 Kinder spielen mit 30 Klötzchen. Wie viele Klötzchen hat jedes Kind mitgebracht, wenn allen Kindern gleich viele Klötzchen gehören?

  • „Passen in“ -> Ein 10 Meter langer Flur wird mit Teppichen ausgelegt. Jeder Teppich ist 2 Meter lang. Wie viele Teppiche braucht man um den Flur zu bedecken?

  • Umkehrung zur Multiplikation -> Ein Mann möchte für 20 € Bücher kaufen. Jedes buch kostet 5 €. Wie viele Bücher kann er sich leisten?

Grundvorstellungen für Variablen:

  • Gegenstandsaspekt: Variable als unbekannte Zahl bzw. als unbestimmte allgemeine Zahl

  • Einsetzungsaspekt: Variable als Platzhalter/Leerstelle in die man Zahlen einsetzten darf

  • Kalkülaspekt: Variable als bedeutungsloses Zeichen, mit dem man nach bestimmten Regeln rechnen darf

  • Veränderlichenaspekt: Variable in einer gegebenen Formel (z.B. Umfangformel) für die man unterschiedliche Zahlen einsetzten darf (Seitenlängen)

Grundvorstellungen zu den Funktionen:

  • Zuordnungsvorstellung: Beschreibung oder Stiftung von Zusammenhängen durch eine Funktion, Beschreibung von zwei abhängigen Größen/ Variablen

  • Kovariationsvorstellung: Erfassung der Dynamik, wie zwei Größen/ Variablen sich miteinander verändern

  • Vorstellung von der Funktion als Ganzes: Betrachtung eines gegebenen oder erzeugten Zusammenhang als Ganzes; Funktion als eigenständiges Objekt, z.B. charakteristischer Graph

Voraussetzung dafür: Verinnerlichung des Veränderlichenaspektes von Variablen

Literaturquellen:

Prediger, Susanne (2009): Inhaltliches Denken vor Kalkül - Ein didaktisches Prinzip zur Vorbeugung und Förderung bei Rechenschwierigkeiten. In: Fritz, Annemarie & Schmidt, Siegbert (Hrsg.): Fördernder Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Weinheim: Beltz, 213-234. vom Hofe, Rudolf (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. In: Mathematik lehren 118, 4-8.

Hefendehl-Hebeker, Lisa & Prediger, Susanne (2006): Unzählig viele Zahlen – Zahlbereiche erwei-tern und Zahl¬vor¬stellungen wandeln. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 48(11), 1-7.

Prediger, Susanne; Freesemann, Okka; Moser Opitz, Elisabeth & Hußmann, Stephan (2013): Un-verzichtbare Verstehensgrundlagen statt kurzfristige Reparatur - Förderung bei mathematischen Lernschwierigkeiten in Klasse 5. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 55(51), 12-17.

Leuders, Timo / Prediger, Susanne (2005): Funktioniert’s? - Denken in Funktionen, Praxis der Ma-thematik in der Schule 47(2), S. 1-7

Malle, Günther (1986): Variable. Basisartikel mit Überlegungen zur elementaren Algebra, in: Ma-thematik lehren 15, S. 2-11.

E-I-S-Prinzip

EIS-Prinzip unterstützt die Entwicklung des Wissens durch schrittweise Darstellung neuer Inhalte -erst in Enaktiven, dann Ikonischen und schließlich in Symbolischen Repräsentationen

Darstellungswechsel

Definition:

Um eine umfassende Vorstellung vom erlernten Stoff zu bekommen, gibt es drei verschiedene Möglichkeiten eine Aufgabe darzustellen:

  1. Reale Sachsituation
  2. Graphische Darstellung
  3. Symbolische Darstellung

Erläuterungen:

Ob die Grundvorstellungen zu den einzelnen Begriffen und Operationen gut aufgebaut sind, kann man daran erkennen, ob die Übersetzungsporzesse zwischen den Darstellungen funktionieren.

WICHTIG: Lernende müssen den Darstellungswechsel selbst vollziehen können!

Beispiel:

Aufgabe: Brüche berechnen, z.B. 6/6 – 1/2 = ???

Reale Sachsituation: Vorstellung eines Kuchens, welcher in 6 Stücke aufgeteilt wird. Es werden 1/2 davon gegessen. Wie viel bleibt übrig?

Graphische Darstellung: Zeichnen eines Kreises, der aufgeteilt wird

Symbolische Darstellung: Rechnung

Literaturquelle:

Bruner, J. S. , Oliver, R. S. & Greenfield, P. M. (1971). Studien zur kognitiven Entwicklung. Stuttgart: Kohlhammer. --> Quelle: http://lexikon.stangl.eu/12401/eis-prinzip/ © Online Lexikon für Psychologie und Pädagogik

Prediger, Susanne (2009): Inhaltliches Denken vor Kalkül - Ein didaktisches Prinzip zur Vorbeugung und Förderung bei Rechenschwierigkeiten. In: Fritz, Annemarie & Schmidt, Siegbert (Hrsg.): Fördernder Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Weinheim: Beltz, 213-234. vom Hofe, Rudolf (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. In: Mathematik lehren 118, 4-8.

Conceptual Change

Einen Begriff verstehen

Literaturempfehlungen

zu verschiedenen Themen:

Didaktik der Arithmetik und Zahlbereiche

• Hefendehl-Hebeker, Lisa & Prediger, Susanne (2006): Unzählig viele Zahlen – Zahlbereiche erwei-tern und Zahl¬vor¬stellungen wandeln. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 48(11), 1-7.

• Prediger, Susanne; Freesemann, Okka; Moser Opitz, Elisabeth & Hußmann, Stephan (2013): Un-verzichtbare Verstehensgrundlagen statt kurzfristige Reparatur - Förderung bei mathematischen Lernschwierigkeiten in Klasse 5. In: Praxis der Mathematik in der Schule, 55(51), 12-17.

Didaktik der Algebra und Funktionen

• Leuders, Timo / Prediger, Susanne (2005): Funktioniert’s? - Denken in Funktionen, Praxis der Ma-thematik in der Schule 47(2), S. 1-7

• Malle, Günther (1986): Variable. Basisartikel mit Überlegungen zur elementaren Algebra, in: Ma-thematik lehren 15, S. 2-11.

Didaktik der Stochastik

• Eichler, Andreas & Vogel, Markus (2009): Zufall und Wahrscheinlichkeit. In: Dieselben: Leitidee Daten und Zufall. Vieweg + Teubner: Wiesbaden, 147-176.

• Vogel, Markus & Eichler, Andreas (2011): Das kann doch kein Zufall sein. Praxis der Mathematik in der Schule, 53(39), 2-8.

Didaktik der Geometrie

• Wittmann, Erich Ch. (1999): Konstruktion eines Geometriecurriculums ausgehend von Grundideen der Elementargeometrie, in: Henning, Herbert (Hrsg.): Mathematik lernen durch Handeln und Erfah-rung. Bueltmann und Gerriets, Oldenburg, 205-223.

• Greefrath, Gilbert & Laakmann, Heinz (2014): Mathematik eben - Flächen messen. Praxis der Ma-thematik in der Schule 56(55), 2-10. (Schwerpunkt auf Sek I)

Differenzierung

Hußmann, Stephan & Prediger, Susanne (2007): Mit Unterschieden rechnen. Differenzieren und Individualisieren. In: Praxis der Mathematik in der Schule 49(17), 1-8

Produktives Üben

Leuders, Timo (2009): Intelligentes üben und Mathematik erleben. In: T. Leuders, L. Hefendehl-Hebeker & H.-G. Weigand (Hrsg.): Mathemagische Momente. Cornelsen, Berlin, 130-143.

Wittmann, E. C. (1989). Wider die Flut der bunten Hunde und der grauen Päckchen: Die Konzeption des aktiv-entdeckenden Lernens und produktiven Übens. Sachunterricht und Mathematik in der Primarstufe, 17(10), 445-446, 455- 460.

Leuders, Timo (2009): Intelligentes üben und Mathematik erleben. In: T. Leuders, L. Hefendehl-Hebeker & H.-G. Weigand (Hrsg.): Mathemagische Momente. Cornelsen, Berlin, 130-143. Lerntheoretische Hintergründe

Malle, Günther (1993): Lernen als Abbilden und Lernen als Konstruieren, in: ders.: Didaktische Probleme der elementaren Algebra: mit vielen Beispielaufgaben, Vieweg, Wiesbaden. Prinzip des entdeckendes Lernens

Malle, Günther (2002): Begründen. Eine vernachlässigte Tätigkeit im Mathematikunterricht. In: Mathematik lehren 110, 4-8.

Grundvorstellungen

Prediger, Susanne (2009): Inhaltliches Denken vor Kalkül - Ein didaktisches Prinzip zur Vorbeugung und Förderung bei Rechenschwierigkeiten. In: Fritz, Annemarie & Schmidt, Siegbert (Hrsg.): Fördernder Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I. Weinheim: Beltz, 213-234.

vom Hofe, Rudolf (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. In: Mathematik lehren 118, 4-8. Konstrukte Unterrichtsphasen

Prediger, Susanne & Wittmann, Gerald (2013): Verständiger Umgang mit Begriffen und Verfahren. Zentrale Grundlagen der Kompetenzaspekte Wissen-Erkennen-Beschreiben und Operieren-Berechnen. In: Linneweber-Lammerskitten, Helmut (Hrsg.): Lehren lernen - Basiswissen für die Lehrerinnen- und Lehrerbildung. Seelze: Kallmeyer.

Hinweis: Die genannten Literaturempfehlungen stammen aus dem Seminar: "Abschlusskurs Mathematikdidaktik" an der TU Dortmund von Prof.Dr. Prediger.

Formelnotation

Diese Richtlinien sollen dir einen Überblick geben, wie du Formeln und andere mathematische Objekte schreiben sollst. Vieles wirst du intuitiv richtig machen, aber um eine einheitliche Notation auf serlo.org zu erreichen, wird empfohlen, diese Richtlinien einzuhalten. Kleine Abweichungen sind aber kein Problem, da jede Bearbeitung vom Redaktionsteam gegengelesen wird.

In diesem Artikel stehen nur die Richtlinien. Eine Anleitung und Hilfe zum Schreiben von Formeln im Editor findest du in der LaTeX-Hilfe.

Formeln im Fließtext

Formeln im Fließtext stehen in der Formelumgebung %%\%\%\;\%\% %%. Das ist nicht die übliche Formelumgebung des Editors. Auch einzelne Variablen %%(x)%% und Funktionsnamen %%(f)%% werden in dieser Formelumgebung notiert. Zahlen werden ohne spezielle Behandlung, also normal, geschrieben.

Text zwischen Formeln

Normaler Text wird nicht in der Formelumgebung geschrieben. Stattdessen wird die erste Umgebung geschlossen und nach dem Text eine neue geöffnet. Es gibt aber Fälle, in denen das keinen Sinn macht, dann ist Text in Formelumgebungen erlaubt. Beispiele:

  • Lösung: %%x_1=3%% und %%x_2=5%%
  • …die Funktionen %%g(x)=3x%% und %%h(x)=-x^2%%

Im folgenden Beispiel musste der Text in der Mathematikumgebung geschrieben und selbst zu einer normalen Schriftart geändert werden: $$f(x)=\begin{cases} 3x & \text{ für } & x >0\\ -3x & \text { für } & x<0 \end{cases}$$

Rechenzeichen

In dieser Tabelle stehen die Rechenzeichen von serlo.org. Dabei musst du hauptsächlich beachten, dass der Malpunkt wirklich ein Malpunkt ist und kein *.

Operation

"plus"

"minus"

"mal"

"geteilt"

Kreuzprodukt

Skalarprodukt

Potenzieren

Zeichen

+

-

%%\cdot%%

:

%%\times%%

%%\circ%%

Im Editor

+

-

\cdot

:

\times

\circ

^

Genaueres zu Rechenzeichen steht in den Hilfeseiten zum Editor und zu LaTeX.

Nicht-kursive mathematische Funktionen

Funktionen der Mathematik mit mehr als einem Buchstaben werden nicht kursiv geschrieben. Das gilt auch für das "d" beim Integral und bei der Ableitung und die Achsenbeschriftungen ( x-Achse, y-Achse ). Beispiele für Funktionen sind:

  • %%\sin(x)%%
  • %%\min\{2;3\}%%
  • %%\det\left(A\right)%%
  • %%\lim_{x\rightarrow 0} \ln(x)%%
  • %%\int_0^1 e^{-x}\mathrm{d}x%%

Auch Einheiten werden normal geschrieben, um sie gut von den Variablen unterscheiden zu können.

Die Ableitung

Für die ersten drei Ableitungen wird die entsprechende Anzahl an einzelnen, vertikalen Strichen benutzt (QWERTZ-Tastaturen bei der Raute). Höhere Ableitungen werden hingegen mit einer hochgestellen und geklammerten Zahl notiert.

Beispiele:

  • %%f'(x)%% mit f'(x)
  • %%f^{(4)}(x)%% mit f^{(4)}(x)

Einheiten

Einheiten werden nicht kursiv, sondern normal geschrieben. Dafür musst du in LaTeX mit einem vorgestellten halben Leerzeichen die Einheit als \,\text{Einheit} schreiben. Beispiele

25\,\text{cm}

wird zu

$$25\,\text{cm}$$

l=12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 25\,\text{s}

wird zu

$$l=12\,\frac{\text{m}}{\text{s}}\cdot 25\,\text{s}$$

und

A=49\,\text{mm}^2

wird zu

$$A=49\,\text{mm}^2$$

Große Zahlen

Wenn die Zahlen größer werden, kann es Sinn machen, aus Gründen der Übersichtlichkeit die Tausenderstellen abzugrenzen. Das machst du mit einem halben Leerzeichen \,. Beispiel:

1\,000\,000

wird zu

$$1\,000\,000$$

Punkte und Vektoren

Die Koordinaten von Punkten werden mit senkrechten Strichen getrennt: %%P(0|1)%%

In Zeilenvektoren werden Einträge mit Semikola getrennt: %%\vec{a}=\left(1;3;4\right)%%

Mengen, Intervalle und Tupel

Einträge in Mengen, Intervallen und Tupel werden mit Semikola getrennt: %%\{1;2;5;9\},\left[-2;3\right[, \left(\mathrm{m};\mathrm{m};\mathrm{w}\right)%%.

Außerdem werden für Intervalle nur eckige Klammern verwendet.

Mengenschreibweise

Symbole für Mengen werden mit immer mit Doppelstrich geschrieben. Beispiele sind die bekannten Zahlenmengen %%\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}%%, sowie die Grundmenge %%\mathbb{G}%%, die Definitionsmenge %%\mathbb{D}%%, die Wertemenge %%\mathbb{W}%% und die Lösungsmenge %%\mathbb{L}%%.

Eine diesbezügliche Hilfe für den Editor findest du hier.

Gleichungssysteme

Gleichungssysteme werden - von begründeten Ausnahmefällen abgesehen - so geschrieben, dass

  • die Rechenzeichen und
  • die Gleichheitszeichen

jeweils untereinander stehen.

Die sich entsprechenden Summanden werden dabei rechtsbündig formatiert.

Beispiel:

$$\begin{array}{crcrcrcr} \text{I} &5x_1&+&3x_2&- &150 &= &12\\ \text{II} &x_1 & & &+ &2 &= &4 \end{array}$$

Rechungen über mehrere Zeilen

Geht ein Rechnung über mehrere Zeilen, so werden alle Zeilen nach der ersten etwas eingerückt. Dabei orientierst du dich entweder am ersten Gleichheitszeichen der ersten Zeile oder am zweiten Symbol. Außerdem steht das Gleichheitszeichen nur am Zeilenanfang. Beispiele:

$$\begin{align} \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2x^2-2}{3x} &= \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{2-\frac{2}{x^2}}{\frac{3}{x}}\\ &=2 \end{align} $$ $$ \begin{align} \int_0^1 &12x^5-4x^3+2x^2-10 \mathrm{d}x+\int_1^2 12x^5-4x^3+2x^2-10 \mathrm{d}x\\ &=\int_0^2 12x^5-4x^3+2x^2-10 \mathrm{d}x \end{align} $$

Die Polynomdivision

Um die Polynomdivision mit LaTeX darzustellen gibt es (ohne externe Hilfsmittel zu bemühen) verschiedene Ansätze. Empfohlen wird die Verwendung des Phantom-Befehls. Dieser erzeugt einen Einschub von der Länge des Argumentes.

\begin{array}{l}
\hphantom{-}\left(x^3-x^2-4x+4\right) :\left(x-1\right) = x^2-4 \\
\underline{-\left(x^3-x^2\right)}\\
\hphantom{-\Big(x^3-x^2}-4x+4\\
\hphantom{\Big(x^3-x^2}\underline{-\left(-4x+4\right)}\\
\hphantom{-\Big(x^3-x^2-4x+}\;0
\end{array}

ergibt:

$$\begin{array}{l} \hphantom{-}\left(x^3-x^2-4x+4\right) :\left(x-1\right) = x^2-4 \\ \underline{-\left(x^3-x^2\right)}\\ \hphantom{-\Big(x^3-x^2}-4x+4\\ \hphantom{\Big(x^3-x^2}\underline{-\left(-4x+4\right)}\\ \hphantom{-\Big(x^3-x^2-4x+}\;0 \end{array}$$

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