Aufgaben zum Thema Maßstab

Du möchtest üben, mit Maßstäben zu rechnen? Hier findest du verschiedene Sachaufgaben dazu.

1
Ein Architekt möchte einen Plan von seinem Haus zeichnen. Er weiß, dass das Wohnzimmer 8 m lang ist und der Plan einen Maßstab von 1:100 haben soll. Wie lang muss das Wohnzimmer in seinem Plan sein?
cm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Gegeben:
Länge in Wirklichkeit 8 m
Maßstab der Karte, in diesem Fall Maßstab des Plans 1:100
Zunächst kann man sich überlegen, dass bei diesem Maßstab 1 m in der Karte 100 m in Wirklichkeit entspricht und damit die 8 m verkleinert werden, wenn man sie in die Karte einzeichnen möchte.
Um die Länge für die Karte zu berechnen verwendet man die Rechenstrategie aus dem Artikel Maßstab
Dazu rechnen wir die m in cm um:
8 m = 800 cm
Und im zweiten Schritt teilen wir diese Länge durch die zweite Zahl des Maßstabs:
800 cm : 100 = 8 cm
Die Länge muss in der Karte also 8 cm betragen.
2
Auf einer Karte beträgt die Entfernung von zwei Städten 5 cm. Der Maßstab ist mit
1 : 1 000 000 angegeben.
Berechne, wie weit die beiden Städte in Wirklichkeit voneinander entfernt sind.
km

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Gegeben:
Maßstab ist 1 : 1 000 000
Entfernung in der Karte ist 5 cm
Für die Vorstellung überlegt man sich, dass 1 cm in der Karte 1 000 000 cm in Wirklichkeit entsprechen. Es handelt sich also um eine Vergrößerung der 5 cm.
Man benutzt die Rechenstrategie aus dem Artikel Maßstab und rechnet zunächst
5cm $\cdot$ 1 000 000 = 5 000 000 cm
Nun kann man sich 5 000 000 cm schlecht vorstellen, deshalb rechnen wir um:
5 000 000 cm = 50 000 m = 50 km
Die beiden Städte sind also 50 km voneinander entfernt.
3
Das Rathaus einer Stadt ist vom Krankenhaus genau 400 m entfernt. Auf einer Stadtkarte sind es genau 8 cm. Welchen Maßstab hat diese Karte?
1 : 5000
1 : 1000
1 : 2000
1 : 10000
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Gegeben:
Entfernung in der Karte: 8 cm
Entfernung in Wirklichkeit: 400 m
Zunächst bemerkt man, dass man cm und m schlecht vergleichen kann, also rechnet man m in cm um:
400 m = 40 000 cm
Auf der linken Seite des Maßstabs steht immer die Entfernung in der Karte und auf der rechten Seite steht die Entfernung in Wirklichkeit, damit ergibt sich
8 cm : 40 000 cm
bzw
8 : 40 000
Man teilt beide Seiten durch das Kleinere (in diesem Fall ist das Kleinere 8)
und erhält den Maßstab
1 : 5 000
4
Ein Spielzeugmodell eines Flugzeugs ist 50 cm lang und der Maßstab ist als 1:100 angegeben. Es soll vom gleichen Flugzeug ein Ausstellungsmodell im Maßstab 1:25 gebaut werden. Wie lang wird das Ausstellungsmodell werden?
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Gegeben:
Länge des Spielzeugmodells: 50 cm
Maßstab des Spielzeugmodells: 1:100
Mit diesen Angaben kann man nach der Rechenstrategie aus dem Artikel Maßstab die Länge des wirklichen Flugzeugs berechnen:
Der Maßstab sagt aus, dass in Wirklichkeit alles 100 mal so groß ist wie im Modell. Damit ist auch das echte Flugzeug 100 mal so lang wie das Spielzeugmodell. Damit ergibt sich die Länge des wirklichen Flugzeuges als:
100 $\cdot$ 50 cm = 5 000 cm = 50 m Umwandeln von Einheiten
Jetzt weiß man:
Länge des wirklichen Flugzeugs: 50 m
Maßstab des Ausstellungsmodells: 1:25
Der Maßstab 1:25 sagt aus, dass in der Wirklichkeit alles 25 mal so groß ist, wie im Ausstellungsmodell. Damit ist das Ausstellungsmodell 25 mal kleiner als das wirkliche Flugzeug.
Man berechnet die Länge des Ausstellungsmodells also als
50 m : 25 = 2 m
Das Modell ist damit 2 m lang.
5
Eine Mücke ist im Mikroskop 12 cm groß und der Maßstab des Mikroskops ist mit 24:1 angegeben.
Wie groß ist die Mücke wirklich?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Gegeben:
Größe der Mücke im Mikroskop: 12 cm
Maßstab des Mikroskops: 24:1
Für die Vorstellung kann man sich überlegen, dass 24 cm im Mikroskop 1 cm in der Wirklichkeit entsprechen. Es geht also um eine Verkleinerung der 12 cm.
Man geht nach der Rechenstrategie aus dem Artikel Maßstab vor:
Man überlegt sich zuerst, dass alles was man im Mikroskop sieht in Wirklichkeit 24 mal kleiner ist.
Um besser rechnen zu können, wandeln wir die 12 cm um :
12 cm = 120 mm
Dann teilt man die Länge im Mikroskop durch diese Verkleinerung:
120 mm : 24 = 5 mm
Also ist die Mücke in Wirklichkeit 5 mm bzw 0,5 cm groß.
6
Berechne den Maßstab einer Karte, bei der 2 cm auf der Karte in Wirklichkeit 5 km bedeuten.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
2cm entspricht $5 km \Rightarrow$ $1 cm$ entspricht 2,5km
km in cm umrechnen.
$2,5 km \cdot 100.000 = 250.000 cm$
1cm entspricht 250.000cm.
1:250.000
$\Rightarrow$ Der Maßstab einer Karte, auf der 2cm 5km entsprechen, ist 1:250.000.
7
Bei einer Modelleisenbahn ist ein 10 Meter langer Güterwagen nur 8 cm lang. Berechne den Maßstab für dieses Modell und berechne, wie groß ein Mensch in dieser Modelllandschaft ungefähr wäre.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umrechnen von Längeneinheiten
Zuerst rechnest du $10$ m in cm um:
$10 m = 10 \cdot 100 cm = 1000 cm$
Teile durch die Länge des Güterwagens im Modell. So erhälst du den Maßstab.
$1000 cm : 8 cm = 125$
Das heißt also der Maßstab ist $1 : 125$ .
Nun kannst du die Größe eines Menschens in diesem Modell ausrechnen. Nun ist die Größe des Menschen nicht angegeben, d.h. du darfst schätzen wie groß ein Mensch ungefähr ist. Wir rechnen hier mit $180 cm$ weiter. Du kannst hierfür gerne ein Taschenrechner nehmen, da die Rechnung schwierig ist.
$180 cm : 125 = 1,44 cm$
Antwort: Der Maßstab des Modells beträgt $1 : 125$ . Die Größe eines Menschens $(1,80 m)$ ist $1,44 cm$ .
8
Welche Höhe hat die Zugspitze ( $2962 m$ ) in einem Modell des Maßstabs $1 : 100.000$ ?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Division
Höhe der Zugspitze $2962 m \hat{=} 296200 cm$
Maßstab $1 : 100.000$
$1 cm$ im Modell entspricht $100.000 cm$ in der Realität.
$296.200 : 100.000 = 2,962 cm \approx 3 cm$
$\Rightarrow$ Die Zugspitze würde in einem Modell mit dem Maßstab $1 : 100.000$ ungefähr $3 cm$ entsprechen.
9
In einer Ausstellung wird ein Modell der Münchner Fußball-Arena im Maßstab 1:50 gezeigt. Das Modell ist $5 m$ lang, $4,5 m$ breit und $1 m$ hoch. Das Spielfeld hat im Modell einen Flächeninhalt von 4 $m^{2}$
1. Wie lang ist die Fußball-Arena in Wirklichkeit?
  m
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlen und Größen
  Maßstab $1 : 50$
  Die Länge des Fußballstadions im Modell in $cm$ Umrechnen.
  $5 m \hat{=} 500 cm$
  Den Maßstab ( $1 c m$ entspricht $50 c m$ in Realität) berücksichtigen und die Länge in Realität ausrechnen.
  $500 c m \cdot 50 = 25000 cm = 250 m$
  $l_{real} = 250 m$
  $\Rightarrow$ Das Stadion ist $250 m$ lang.
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2. Ein Fußballfan möchte in seinem Garten ein Modell der Fußball-Arena im Maßstab $1 : 100$ aufbauen. Welche Höhe hat dieses Modell und wie groß ist der Flächeninhalt des Spielfelds in diesem Modell?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Zahlen und Größen
  Maßstab $1 : 100$
  A $(l \cdot b)$ (bei Maßstab $1 : 50$ ): $4 m^{2}$
  Beim Maßstab $1 : 50$ halbieren sich jeweils die Länge und die Breite des Feldes.
  $\frac{1}{2} l \cdot \frac{1}{2} b$ $=$ $\frac{1}{4} l b$
  ↓
  Somit viertelt sich der Flächeninhalt.
  $A$ $=$ $\frac{1}{4} \cdot 4 m^{2}$
  $=$ $1 m^{2}$
  $1 : 100$ entspricht der Hälfte von $1 : 50$ . Somit halbiert sich die Höhe.
  $h_{1 : 100} = 1 m : 2 = 0,5 m$
  $\Rightarrow$ Die Höhe des Stadions beträgt $0,5 m$ und der Flächeninhalt $1 m^{2}$ bei einem Maßstab von $1 : 100$ .
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10
Im Urlaub fährt Sabine mit ihren Eltern nach Griechenland. Dort sieht sie eine Statue unter einem Winkel von 37° und ist 18m von ihr entfernt. Sabine ist 1, 50 m groß.
1. Fertige eine Skizze im Maßstab 1:150 an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
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2. Wie groß ist die Statue in Wirklichkeit?
  Gib die Lösung entweder in cm in der Form $x x x x c m$ oder in m in der Form $x x, x x m$ an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
  Statue in Wirklichkeit: $8,5 cm \cdot 150 = 1275 cm = 12,75 m$
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11
Auf einer Wanderkarte ist der Maßstab $1 : 125000$ vermerkt. Bei einer Wanderung legt man durchschnittlich $1 k m$ in $15$ Minuten zurück.
1. Berechne, welche Strecke (in $c m$ ) auf der Karte einer Wanderung von zweieinhalb Stunden entspricht.
  cm
  
  gegebene Infos:
  Maßstab $1 : 125 000$
  Es werden $1 k m$ in $15$ Minuten zurückgelegt.
  Variante 1 Rechnet man von den $15$ Minuten hoch, so kommt man auf $4$ Kilometer in einer Stunde. Man bewegt sich also bei einer Wanderung mit einer Geschwindigkeit von $4 \frac{k m}{h}$ . Multipliziere diesen Wert mit der Dauer der Wanderung $(2,5 h)$ , um auf die Distanz zu kommen.
  $2,5 h \cdot 4 \frac{k m}{h}$ $=$ $10 k m$
  ↓
  km in cm umrechnen ( $\cdot 100 000$ )
  $=$ $1 000 000 c m$
  Zum Schluss musst du noch das Ergebnis auf Grund des Maßstabs durch $125000$ teilen.
  $1 000 000 c m : 125 000 = 8 c m$
  Variante 2 Eine weitere Möglichkeit die Aufgabe zu lösen, ist sich zu überlegen, dass in $2,5 h$ Stunden $10 \cdot 15$ Minuten stecken. Da man in $15$ Minuten einen Kilometer zurücklegt, kann man einfach $10 \cdot 1 k m$ rechnen. $10 k m \cdot 100 000 = 1 000 000 c m$ Zum Schluss musst du noch das Ergebnis auf Grund des Maßstabs durch $125000$ teilen. Dann erhältst du $8 c m$ .
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2. Das nächste Rasthaus ist auf der Karte $25 m m$ entfernt. Berechne, wie weit es entfernt ist und ob man es in einer Stunde Wanderzeit erreichen kann.
  km
  
  $125 000 m m \cdot 25$ $=$ $3 125 000 m m$
  ↓
  Rechne das Ergebnis in km um $(: 1 000 000)$ .
  $=$ $3,125 k m$
  Vergleiche mit der Geschwindigkeit der Wanderer.
  Die Wanderer bewegen sich in $15 \min$ einen Kilometer, also schaffen $4 k m$ in einer Stunde.
  Somit schaffen sie erst recht $3,125 k m$ in einer Stunde.
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Die Planeten Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn, Uranus, Neptun und der Zwergplanet Pluto umkreisen unsere Sonne. In folgender Tabelle sind die Durchmesser der Sonne und der Planeten zusammengefasst:

Planeten (und ein Stern)	Durchmesser in km
Sonne	1.388.224
Merkur	4878
Venus	12099
Erde	12736
Mars	6763
Jupiter	142643
Saturn	119973
Uranus	51199
Neptun	49670
Pluto	2165

In einem Modell unseres Sonnensystems soll die Größe der Planeten maßstabsgetreu dargestellt werden. In diesem Modell soll der Durchmesser der Erde $2 c m$ betragen.

Wie groß sind in diesem Modell die anderen Planeten?

Planeten (und ein Stern)	Durchmesser in $k m$	Durchmesser im Modell
Sonne	$1.388.224$	$2 m 18 c m$
Merkur	$4.878$	$8 m m$
Venus	$12.099$	$1 c m 9 m m$
Erde	$12.736$	$2 c m$
Mars	$6.763$	$1 c m 1 m m$
Jupiter	$142.643$	$22 c m 4 m m$
Saturn	$119.973$	$18 c m 8 m m$
Uranus	$51.199$	$8 c m$
Neptun	$49.670$	$7 c m 8 m m$
Pluto	$2.165$	$3 m m$

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Die Erde wird vom Mond umkreist. Der Durchmesser des Erdmondes beträgt $3477 k m$ . Wie groß ist dieser im Modell?
Gib das Ergebnis in $mm$ an und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
mm

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Rechnen mit Längeneinheiten
Berechnung des Umrechnungsfaktors
$12736 km : 2 cm$
$=$ $6368 \frac{km}{cm}$
Das bedeutet, dass ein $cm$ im Modell $6368 km$ in der Realität entsprechen.
Mond im Modell
$3477 km : 6368 \frac{km}{cm}$
$\approx$ $0,546 cm$
Das sind etwa $5,46 mm$ im Modell.
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Berechne den Umrechnungsfaktor, indem du den Durchmesser der Erde durch 2 teilst.

13
In einer Karte ist die Strecke von Bochum nach Essen, die in Wirklichkeit $15 k m$ beträgt, $0,6 c m$ lang. In welchem Maßstab ist die Karte dargestellt?
km

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Maßstab
Das Verhältnis ist $15 k m : 0,6 c m = 15 000 000 m m : 6 m m = 2 500 000 : 1$ .
Damit entspricht eine Längeneinheit, bspw. $1$ $c m$ auf der Karte, $2,5$ $k m$ in der Wirklichkeit.
Bilde das Verhältnis von den $15$ $k m$ und den $0,6$ $c m$ . Achte dabei auf die unterschiedlichen Einheiten!
14
Berechne, wie lang die angegebene Strecke auf der Karte angesichts des Maßstabs in Wirklichkeit ist.
17cm bei Maßstab 1:250.000
km

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Multiplikation
$17 cm$ bei Maßstab $1 : 250.000$
$1 cm$ im Modell entspricht $250.000 cm$ in der Realität.
$\begin{array}{l} 17 cm \cdot 250000 \\ = 4250000 cm \\ \hat{=} 42 km 500 m \end{array}$
$\Rightarrow$ Bei einem Maßstab von $1 : 250.000$ entsprechen $17 cm$ im Modell $42 km$ , $500 m$ in der Realität.
Berechne zuerst, wie vielen $cm$ in Realität, $1 cm$ auf der Karte entsprechen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{1}{2} l \cdot \frac{1}{2} b$	$=$	$\frac{1}{4} l b$
	↓	Somit viertelt sich der Flächeninhalt.
$A$	$=$	$\frac{1}{4} \cdot 4 m^{2}$
	$=$	$1 m^{2}$

$2,5 h \cdot 4 \frac{k m}{h}$	$=$	$10 k m$
	↓	km in cm umrechnen ( $\cdot 100 000$ )
	$=$	$1 000 000 c m$

$125 000 m m \cdot 25$	$=$	$3 125 000 m m$
	↓	Rechne das Ergebnis in km um $(: 1 000 000)$ .
	$=$	$3,125 k m$

	$12736 km : 2 cm$
$=$	$6368 \frac{km}{cm}$

	$3477 km : 6368 \frac{km}{cm}$
$\approx$	$0,546 cm$

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Berechnung des Umrechnungsfaktors

Mond im Modell

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