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In den meisten Vorlesungen und Büchern wird das Hamilton'sche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung) als Grundaxiom angenommen und gezeigt, dass es mit den Newton'schen Gesetzen vereinbar ist. In diesem Artikel versuchen wir, eine mögliche intuitive Herleitung des Wirkungsprinzips anzugeben.

Zusammenfassung

• Freie Teilchen bewegen sich nach dem ersten Newton'schen Axiom auf Geraden

• Geraden minimieren den Abstand zwischen zwei Punkten und definieren so ein Variationsproblem

• Äquvalent zur Variation des Abstands ist die Variation des Quadrats des Abstands

• Das Variationsproblem des Quadrats des Abstands führt zum Hamilton'schen Prinzip

• Dieses wird geeignet um einen Potentialterm erweitert, um das zweite Newton'sche Axiom zu reproduzieren

• E?!

Motivation

Ziel der theoretischen Mechanik ist es, die Bewegung von Teilchen zu beschreiben. Über einen Vektor $\mathbf{x}(t)$ spezifizieren wir hierzu die Positionen aller betrachteten Objekte zu einem Zeitpunkt $t$ ($\mathbf x(t)$ kann sich dabei auf kartesische oder krummlinige Koordinaten beziehen). Die Veränderung eines solchen Systems von Teilchen wird über eine Differentialgleichung der Form $\ddot{\mathbf{x}}=f(\dot{\mathbf x}, \mathbf x)$ charakterisiert. Diese Differentialgleichung definiert die zu jedem Zeitpunkt jeweils aktuelle Beschleunigung $\ddot{\mathbf{x}}$. Diese Beschleunigung definiert die Änderung der Geschwindigkeit und die jeweils aktuelle Geschwindigkeit definiert die Änderung der Position. Damit haben wir eine eindeutige Beschreibung, wie sich das betrachtete System ändert, sobald die Ausgangsposition $\mathbf{x}_0$ und die Ausgangsgeschwindigkeiten $\dot{\mathbf{x}}_0$ festgelegt sind.

Eine solche Beschreibung mit Hilfe von Differentialgleichungen ist lokal (zeitlich lokal, nicht örtlich): Sie gibt zu jedem Zeitpunkt an, wie sich das System aktuell verändert. Im Gegensatz dazu würde eine (zeitlich) globale Beschreibung angeben, wie sich das System insgesamt über einen längeren Zeitraum verändert. Um den Unterschied zu verdeutlichen: Ein Pendel können wir lokal dadurch beschreiben, dass die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt entgegengesetzt und direkt proportional zur Auslenkung ist. Global ist ein harmonischer Schwinger dadurch charakterisiert, dass die Auslenkung sich sinusförmig zur Zeit ändert.

Die Newtonschen Axiome geben uns eine lokale Beschreibung der Bewegung von Teilchen. Können wir diese Bewegung auch global charakterisieren? In diesem Artikel werden wir sehen, dass das Hamiltonsche Prinzip eine solche globale Beschreibung physikalischer Systeme ist.

Vereinfachung des Problems und erste globale Beschreibung

Wie gelangen wir von einer lokalen zu einer globalen Beschreibung von Bewegung? Vereinfachen wir zunächst diese Fragestellung, indem wir uns auf möglichst einfache Systeme beschränken. Solche einfachen Systeme sind jene, bei denen keine Kräfte wirken. Hier bewegen sich alle Teilchen gleichmäßig mit konstanter Geschwindigkeit. Ihre Bahnen sind damit geradlinig. Dies ist aber bereits eine globale Beschreibung von Systemen ohne Kräfte:

In der theoretischen Physik nutzen wir mathematische Konzepte und Begriffe, um die physikalischen Gesetzmäßigkeiten exakt auszudrücken. Der Begriff „geradlinig“ sollte deswegen konkretisiert und in die Sprache der Mathematik übersetzt werden. Wie können wir „geradlinig“ mathematisch definieren? Geradlinige Bahnen sind die Bahnen zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ mit dem kürzesten Weg. Also:

Der Weg zwischen zwei Punkten

• Wie berechnet man den Weg einer Bahn / den zurückgelegten Weg?

• Beispiel kurvige Bahn

• [ Bild ]

• Bahnkurve beschreiben durch $\gamma(t)$

• reinzoomen

• zurückgelegte kurve über Pythagoras

• Geschwindigkeit benutzt -> ableitung neu erklären

• ausgerechnet

• Integral gebildet, um alles aufzusummieren

Um den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten im $\mathbb{R}^3$ anzugeben, sollte man erst einmal den Weg allgemein betrachten. Bei geraden Wegen funktioniert das noch intuitiv: mit Hilfe vom Pythagoras wird der Weg mit den Koordinatendifferenzen des Anfangs und Endpunkts der Strecke berechnen: $\Delta s = \sqrt{ \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 }$ (Bild).

Bei einer Zickzack-Strecke kann man die einzelnen geraden Streckenabschnitte einfach aufaddieren. Der Weg muss allerdings nicht immer geradlinig sein, sondern kann auch große Schlenker mit vielen Kurven machen, wie im Bsp. Bild unten zu sehen. Eine beliebiger kurviger Weg $\gamma\left(t\right)$ lässt sich nicht so desweiteren berechnen. Am besten wäre es also, wenn man den Weg so darstellen könnte, wie die Strecke oder der Zickzack-Weg. Dazu gibt es einen einfachen Trick: Man nehme den Weg $\gamma\left(t\right)$ und zoomt beliebig weit hinein und schaut sich einen beliebig kleinen Ausschnitt innerhalb von dx, dy, dz des Weges an. Egal wie dieser Weg aussieht, zoomt man genügend weit hinein, so gleicht der Abschnitt immer mehr einer Geraden. Somit ist es auch egal wie klein man den Fehler hier auch immer legen würde. Man kann durch die Beliebigkeit der Betrachtung ein immer kleineres Stück wählen, so dass die Abweichung kleiner als der Fehler ist. Nun hat man ein gerades Stück, das berechnet werden kann. Mit den definierten Abmessungen dx, dy, dz ergibt sich:

(Bild) Damit hat man einen Teil des Weges. Um die Gesamtlänge zu bekommen, summiert man nur noch die einzelnen Teilwege auf, was dem Integral über die Streckenabschnitte entspricht:

Ein solches Integral ist alles andere als leicht zu lösen. Zudem wäre es leichter, statt über die gesamte Strecke über den Zeitraum zu integrieren, d. h. über die Geschwindigkeit.

Im Folgenden soll exemplarisch die x-Richtung hergenommen werden, das Prinzip gilt auch für y- und z-Richtung.

Als erstes soll das kleine Teilstück in Abhängigkeit von der Zeit und im Bezug zum Weg beschrieben werden. Es folgt:

Vielleicht ahnt man schon, wohin die Gleichung geht. Zur Erinnerung:

Von der Ableitung wissen wir:

Durch Umstellen erhällt man:

Wenden wir nun die Gleichung $$$\left(II\right)$ bei $\left(I\right)$ an, erhält man:

mit $\dot\gamma_{x} = v_x$. Entsprechend funktioniert das auch für dy und dz. Damit folgt für das Integral:

Es gilt also, dass die Weglänge über das Integral des Pythagoras der einzelnen Geschwindigkeiten bestimmt werden kann.

$$

$$

Kurven im euklidischen Raum

Eine Kurve $\gamma$ ist eine Abbildung von $\mathbb{R} \supseteq I$ (?) nach $E^3$, wobei $E^3$ den dreidimensionalen euklidischen Raum bezeichnet und $I$ ein Intervall aus den reellen Zahlen. Dieses Intervall dient der Parametrisierung der Kurve, d. h. jedem Wert $t\in I$ wird ein Punkt $\gamma(t)\in E^3$ zugeordnet. Eine solche Parametrisierung nennen wir affin (?). (Spezifizieren)

Im Unterschied zu $\mathbb{R}^3$ gibt es in $E^3$ vor der Wahl eines Bezugssystems keinen Ursprung und keine Koordinaten. Wir spezifizieren nun ein Koordinatensystem $(x,y,z)$, legen den Ursprung $O = (0{,}0,0)$ fest und können daher alle Rechnungen im $\mathbb{R}^3$, also in unserem Koordinatensystem, durchführen.

Um die Trajektorien klassischer Teilchen darstellen zu können, müssen die Kurven weiterhin hinreichend oft differenzierbar sein. Wir beschränken uns im Folgenden daher auf glatte, also unendlich oft stetig-differenzierbare Kurven und bezeichnen die Menge dieser Kurven mit $\mathfrak{K}(E^3)$. In unserem Koordinatensystem können wir dann die Koordinatendarstellung dieser Kurven betrachten, welche die bekannte Form

annimmt. Nachdem wir nun geklärt haben, wie wir Kurven im euklidischen Raum formal definieren können, müssen wir nun noch das Konzept der Länge einer Kurve einführen.

Die Länge ist notwendig, da Geraden, also die Trajektorien freier Teilchen, Kurven mit minimaler Länge sind (?; umdrehen). Diese Bedingung wird uns also erlauben, die physikalischen Trajektorien von anderen Kurven zu unterscheiden.

Länge einer Kurve

Die Länge einer Kurve kann durch das Längenfunktional $\mathcal{L}$ definiert werden (?). Funktional bedeutet, dass es sich um eine Abbildung

handelt, d.h. jeder Kurve wird eine Zahl, nämlich ihre Länge zugeordnet.

Allgemein nimmt dieses Funktional die einfache Form

Allgemein nimmt dieses Funktional die einfache Form 

an, wobei $\mathrm{d}s$ das infinitesimale Wegelement der Kurve entlang der Kurve bezeichnet (BILD). In unserer Karte können wir dieses Wegelement durch die infinitesimalen Längenelemente $\mathrm{d}x,\mathrm{d}y,\mathrm{d}z$ mittels Pythagoras bestimmen als

Da das Längenfunktional reparametrisierungsinvariant ist, d.h. die Weglänge ist unabhängig von der Parametrisierung, können wir den Parameter beliebig wählen, beispielsweise eine der Koordinaten, etwa $x$, oder aber den vorher spezifizierten affinen Parameter $t$. Wählen wir $t$, so ergibt sich nach der Kettenregel das Längenfunktional als (Herleitung einbringen)

Dies folgt mit $\mathrm{d}x_i = \dot{x}_i \mathrm{d}t$ aus

und damit

mit $g_{ij} = \delta_{ij}$.

Bestimmung von Trajektorien durch Variation

Variation des Längenfunktionals

Mittels Variationsrechnung können wir nun aus dem Längenfunktional $\mathcal{L}$ Kurven minimaler Länge, also Kandidaten für Geraden, bestimmen. Dadurch erhalten wir dann natürlich auch eine Möglichkeit, die Trajektorien freier Teilchen aus einem Variationsprinzip zu bestimmen.

Zusammenhang zur kinetischen Energie

• Alle affin parametrisierten Autoparallelen können auch durch Variation des "quadratischen" Funktionals bestimmt werden

• Reskalierung dieses Funktionals gibt die kinetische Energie

• Folgerung: Variation der kinetischen Energie gibt die Trajektorien freier Teilchen

Bewegung in Potentialen

• Newton-Gleichung mit Kraftterm, konservatives Kraftfeld, Definition des Potentials

• Hinzufügen des Potentialterms im Variationsprinzip: Potentiale haben gleiche Dimension wie kinetische Energie, also Versuch $L = T + \alpha U$.

• Variation dieses Funktionals und Vergleich mit Newton gibt $\alpha = -1$

Wirkungsprinzip

• Formulierung als Axiom

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Die Formulierung der klassischen Mechanik nach Lagrange erlaubt es, die Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mithilfe der Variationsrechnung aus dem Hamiltonschen Prinzip extremaler Wirkung herzuleiten, Ausgangspunkt ist die Lagrange-Funktion. Der Lagrange-Formalismus ist invariant unter Koordinatentransformationen, wodurch die Berücksichtigung von Zwangskräften einfacher ist als in der Newtonschen Mechanik.

Der quantenmechanische Pfadintegral-Formalismus nach Feynman basiert auf den selben Grundideen wie die Mechanik nach Lagrange.

Variationsprinzip

Herleitung der Lagrange-Gleichungen

Gegeben sei ein mechanisches System, das zu den Zeitpunkten $t_1$ und $t_2$ die Lagen $\mathbf{q}(t_1)=\mathbf{q}_1$ und $\mathbf{q}(t_2)=\mathbf{q}_2$ einnehme. Das Hamiltonsche Prinzip besagt, dass die Bewegung zwischen diesen beiden Punkten so verläuft, dass die Wirkung

extremal ist. D.h. wenn $\mathbf{q}(t)$ gerade diese Bahnkurve ist, bei der das Wirkungsfunktional $S$ minimal (maximal) ist, dann führt jede noch so kleine Variation $\delta\mathbf{q}(t)$ zu der neuen Trajektorie

mit einer größeren (kleineren) Wirkung. Mithilfe der Variationsrechnung soll nun eine Differentialgleichung für die Bewegung des Systems gefunden werden, deren Lösung gerade die Bahn mit extremaler Wirkung ist.

Um die durch Variation veränderten Bahnkurven untereinander zu vergleichen, müssen sie dieselben Anfangs- und Endpunkte durchlaufen, also

Mit $\mathbf{q}$ und $\dot{\mathbf{q}}$ als voneinander unabhängigen Variablen, ist die Bedingung dafür, dass $S$ extremal ist, das Verschwinden der Variation des Integrals,

wobei $\delta\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial}{\partial t}\, \delta \mathbf{q}$ ist.

Eine zweckmäßigere Form des Extremalprinzips erhält man durch die partielle Integration des zweiten Terms im Integranden,

Der erste Term entfällt wegen der Bedingung, dass die Variation an Anfangs- und Endpunkte verschwinden soll. Es bleibt nur das Integral übrig, das für beliebige Werte von $\delta\mathbf{q}$ gleich Null sein soll. Dies ist nur möglich, wenn der Integrand bereits Null ist, d.h.

Diese Differentialgleichung, die das Extremum der Wirkung definiert, ist gerade die Euler-Lagrange-Gleichung. Sie ist die Bewegungsgleichung des mechanischen Systems. Bei mehr als einem Freiheitsgrad ergibt sich ein System von gewöhnlichen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit den Koordinaten als Unbekannten.