Gegeben sind eine Gerade und ein Punkt, der nicht auf dieser Gerade liegt, und aus diesen soll die dazu gehörige Ebenengleichung bestimmt und die Ebene in einem Koordinatensystem konstruiert werden.

   

%%A\left({ a}_1/{ a}_2/{ a}_3\right)\;\;\&\;\;\; t:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix} d\\ e\\ f\end{pmatrix}%%   %%\;\;\rightarrow\;\;E: \overrightarrow{ x}=\overrightarrow{{OA}}+\lambda\overrightarrow{\cdot{AB}}+\mu\overrightarrow{\cdot{AC}}%%

Gleichung und Konstruktion

Aus einem Punkt und einer Gerade lassen sich schnell drei Punkte erstellen.Ein Punkt ist uns schon durch A gegeben. Die anderen beiden wählen wir uns aus der Gerade. Hier können wir uns jeden Punkt raussuchen, doch üblich ist es erst für %%s=0%% und dann für %%s=1%% einzusetzen, so dass wir die Punkte %%B\left( a/ b/ c\right)%% und %%C\left( a+ d/ b+ e/ c+ f\right)%% erhalten.

Ab hier kann man bei der Herleitung der Ebenengleichung und der Konstruktion wie bei Ebene aus drei Punkten fortfahren.

Beispielaufgabe

Geg:   %%A\left(1/2/3\right)\;\;\;\;\; t:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}%%

%%B\left(4/5/6\right)%%

%%C\left(11/13/15\right)%%

Um 3 Punkte zu erhalten setzt man zuerst %%s=0%% und dann %%s=1%% und erhält so die Punkte %%B%% und %%C%%.

%%\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}%%%%\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}10\\11\\12\end{pmatrix}%%

Da die Ebenengleichung die Form %%\overrightarrow{ x}=\overrightarrow{{OA}}+\lambda\overrightarrow{\cdot{AB}}+\mu\overrightarrow{\cdot{AC}}%% hat benötigen wir die Vektoren  %%\overrightarrow{{AB}}%% und %%\overrightarrow{{AC}}%% .

%%E: \overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}10\\11\\12\end{pmatrix}%%

Nun stellen wir die Ebenengleichung mit der Form %%E: \overrightarrow{ x}=\overrightarrow{{OA}}+\lambda\overrightarrow{\cdot{AB}}+\mu\overrightarrow{\cdot{AC}}%% auf und sind dann fertig.

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hulah00p 2016-06-30 23:59:10
diese ist sehr hilfreich, aber wie geht es, wenn die Aufgabe fragt, dass die Ebene senkrecht auf einer gegebenen Gerade und eines Punktes enthaelt? Danke schoen
Knorrke 2016-07-02 11:38:24
Hallo hullah00p,

entschuldige die späte Antwort. Ich denke am einfachsten ist bei deiner Aufgabe die Normalenform zu verwenden, habt ihr die schon besprochen?

Der Richtungsvektor von der Gerade ist der normalenvektor n und der Punkt ist A, dann ist die Ebene:

n1 * (x1 - A1) + n2 * (x2 - A2) + n3 * (x3 - A3) = 0

Ich hoffe das hilft dir! Wenn du nicht weißt wie du die Gleichung verwenden kannst, schreib mir nochmal deine genaue Aufgabe, dann kann ich es dir ausführlicher erklären.

Viele Grüße
Benni
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