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Ebene aus einer Geraden und einem Punkt

Anhand eines Punktes A=(a1a2a3)A=(a_1|a_2|a_3) und einer Geraden

lässt sich eine eindeutige Ebene konstruieren, die beide Objekte enthält.

Hierzu werden aus der Geraden zwei Punkte B, CB,\ C entnommen und mit AA zusammen die Parameterform der Ebene aufgestellt:

Gleichung und Konstruktion

Aus einem Punkt und einer Geraden lassen sich schnell drei Punkte erstellen. Ein Punkt ist uns schon durch AA gegeben. Die anderen beiden wählen wir uns aus der Geraden. Hier können wir uns jeden Punkt heraussuchen, doch üblich ist es erst für s=0s=0 und dann für s=1s=1 einzusetzen, sodass wir die Punkte B(a/b/c)B\left( a/ b/ c\right) und C(a+d/b+e/c+f)C\left( a+ d/ b+ e/ c+ f\right) erhalten.

Ab hier kann man bei der Herleitung der Ebenengleichung und der Konstruktion wie bei Ebene aus drei Punkten fortfahren.

Beispielaufgabe

Gegeben:   A(1/2/3)          t:  x=(456)+s(789)A\left(1/2/3\right)\;\;\;\;\; t:\;\overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}+ s\cdot\begin{pmatrix}7\\8\\9\end{pmatrix}

Rechnung

Beschreibung

B(4/5/6)B\left(4/5/6\right) \\ C(11/13/15)C\left(11/13/15\right)

Um 33 Punkte zu erhalten setzt man zuerst s=0s=0 und dann s=1s=1 und erhält so die Punkte BB und CC.

AB=(333); AC=(101112)\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix};~\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}10\\11\\12\end{pmatrix}

Da die Ebenengleichung die Form \\ x=OA+λAB+μAC\overrightarrow{ x}=\overrightarrow{{OA}}+\lambda\overrightarrow{\cdot{AB}}+\mu\overrightarrow{\cdot{AC}} \\ hat, benötigen wir die Vektoren  AB\overrightarrow{{AB}} und AC\overrightarrow{{AC}}.

E:x=(123)+λ(333)+μ(101112)E: \overrightarrow{ x}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}+\lambda\cdot\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+\mu\cdot\begin{pmatrix}10\\11\\12\end{pmatrix}

Nun stellen wir die Ebenengleichung mit der Form \\ E:x=OA+λAB+μACE: \overrightarrow{ x}=\overrightarrow{{OA}}+\lambda\overrightarrow{\cdot{AB}}+\mu\overrightarrow{\cdot{AC}} \\ auf und sind dann fertig.

Übungsaufgaben: Ebene aus einer Geraden und einem Punkt

Weitere Aufgaben zum Thema findest du im folgenden Aufgabenordner:
Aufgaben zur Aufstellung von Ebenengleichung

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