Es ist die quadratische Funktion
f(x)=(x−1)2−4
in der Scheitelpunktsform gegeben. Verwende das Schema zur Bestimmung der Nullstellenform.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen bestimmen
Zuerst bestimmst du die Nullstellen: Setze die Funktion gleich 0 und bestimme die Lösungen der Gleichung.
f(x) | = | 0 | |
(x−1)2−4 | = | 0 | +4 |
(x−1)2 | = | 4 | x |
x−1 | = | ±4 | +1 |
x | = | ±2+1 |
Die Nullstellen sind also gegeben durch x1=2+1=3 und x2=−2+1=−1.
Jetzt bestimmst du den Öffnungsfaktor a. Die Funktion ist in Scheitelpunktsform gegeben. Daher lässt sich der Öffnungsfaktor a direkt ablesen, denn:
f(x)=1⋅(x−1)2−4
Also ist a=1.
Untersuche jetzt, welcher der oben genannten Fälle vorliegt. Wegen x1=3 und x2=−1 hat f zwei verschiedene Nullstellen und es handelt sich um den 1. Fall. Einsetzen in die vorgegebene Form liefert die Nullstellenform:
f(x)=a⋅(x−x1)⋅(x−x2)=1⋅(x−3)⋅(x−(−1))=(x−3)⋅(x+1).