Tipp: Es könnte helfen die linke Seite auf einen Nenner zu schreiben.

Um die Definitionsmenge zu bestimmen musst du alle Nenner gleich $00$ setzen.

Über Kreuz Multiplikation ist eine Äquivalenzumformung, wenn man die richtige Definitionsmenge betrachtet.

Bruchgleichungen

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst

• die Definitionsmenge bestimmen, und

• die Gleichung bruchtermfrei machen.

Definitionsmenge

Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie $00$ werden:

• $x=0x=0$

• $x+1=0x+1=0$

Für $x=0x=0$ und $x=-1x=-1$ ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.

Die Definitionsmenge $DD$ ist also: $D=\mathbb{Q}\mathrm{\backslash }\{-1;0\}D=\backslash mathbb\; Q\backslash backslash\backslash \{-1;0\backslash \}$, falls die Grundmenge $\mathbb{Q}\backslash mathbb\; Q$ ist, und $D=\mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{-1;0\}D=\backslash mathbb\; R\backslash backslash\backslash \{-1;0\backslash \}$, falls die Grundmenge $\mathbb{R}\backslash mathbb\; R$ ist.

Umformen in bruchtermfreie Gleichung

Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.

${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}\backslash displaystyle\; 3+\backslash frac1x=\backslash frac2\{x+1\}$

Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe ${\displaystyle 3+\frac{1}{x}}\backslash displaystyle\; 3+\backslash frac\{1\}x$ auf einen Nenner.

Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.

${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}\backslash displaystyle\; 3+\backslash frac1x=\backslash frac2\{x+1\}$

Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe ${\displaystyle 3+\frac{1}{x}}\backslash displaystyle\; 3+\backslash frac\{1\}x$ auf einen Nenner.

${\displaystyle \frac{3x}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{3x\}x+\backslash frac1x=\backslash frac2\{x+1\}$

Addiere

${\displaystyle \frac{3x+1}{x}=\frac{2}{x+1}}\backslash displaystyle\backslash frac\{3x+1\}x=\backslash frac2\{x+1\}$

Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.

$(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x(3x+1)\backslash ;\backslash cdot\backslash ;(x+1)\backslash ;=2\backslash cdot\; x$

Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir $00$ und $-1-1$ aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der $00$ multipliziert.

Somit ist $(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x(3x+1)\backslash ;\backslash cdot\backslash ;(x+1)\backslash ;=2\backslash cdot\; x$ äquivalent zu ${\displaystyle 3+\frac{1}{x}=\frac{2}{x+1}}\backslash displaystyle\; 3+\backslash frac1x=\backslash frac2\{x+1\}$.

Lösung der bruchtermfreien Gleichung

(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)

$(3x+1)\cdot (x+1)=2\cdot x(3x+1)\backslash ;\backslash cdot\backslash ;(x+1)\backslash ;=2\backslash cdot\; x$

$3x^2+3x+x+1=2x3x^2+3x\backslash ;+x\backslash ;+1=2x$

Klammer ausmultiplizieren

$3x^2+4x+1=2x3x^2+4x\backslash ;+1=2x$

linke Seite zusammenfassen

$3x^2+2x+1=03x^2+2x\backslash ;+1=0$

Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.

$D={\left(2\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1D=\backslash left(2\backslash right)^2-4\backslash cdot3\backslash cdot1$

$=4-12=4-12$

$=-8=-8$

Diskriminante berechnen.

$\mathbb{L}=\left\{\right\}\backslash mathbb\{L\}=\; \backslash left\backslash \{\; \backslash right\backslash \}$

Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!