Tipp: Schaue dir jeden Bruch explizit an. Klammere aus und kürze, falls es möglich ist.

Achtung! Die Definitionsmenge bleibt gleich auch wenn die Nenner verschwinden.

$D=\mathbb Q\backslash\{-4,-3,-1{,}0\}$

Hier empfiehlt es sich zunächst mal die Brüche näher zu analysieren, Faktoren auszuklammern und eventuelle Kürzungen vorzuziehen:

• $\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4\cdot (x+1)}{\displaystyle (x+1)^2}=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle x+1}$

• $\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x\cdot(x+4)}{\displaystyle (x+4)(x+1)}=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}$

• $\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5(x+3)}{\displaystyle (x+1)(x+3)}=\frac{\displaystyle 5}{\displaystyle (x+1)}$

• $\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2(x+1)}{\displaystyle x(x+1)}=x$

Dies ergibt dann:

$x+1+\frac{\displaystyle 4x+4}{\displaystyle (x+1)^2}-\frac{\displaystyle x^3+x^2}{\displaystyle x(x+1)}=\frac{\displaystyle x^2+4x}{\displaystyle (x+4)(x+1)}+\frac{\displaystyle 5x+15}{\displaystyle (x+1)(x+3)}$

$\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}$

$\Rightarrow x+1+\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}$

$|-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}$

$\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x}{\displaystyle x+1}+\frac{\displaystyle5}{\displaystyle x+1}-\frac{\displaystyle4}{\displaystyle x+1}$

Gleicher Nenner

$\Rightarrow x+1-x=\frac{\displaystyle x+5-4}{\displaystyle x+1}$

Auf beiden Seiten Kürzen

$\Rightarrow 1=1$

Wir bekommen also unendlich viele Lösungen. Um genau zu sein, ist hier die Lösungsmenge $\mathbb L$, die Definitionsmenge, also $\mathbb L=D=\mathbb Q\backslash \{-4,-3,-1{,}0\}$. Denn jedes $x\in D$ ist für die Gleichung wohldefiniert und löst die gekürzte Gleichung, die unabhängig von $x$ ist.