Teil B - lernen mit Serlo!

Lösung zur Teilaufgabe B 2.1

In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $ABC$ mit dem Punkt $D$ und der Strecke $AD$ zeichnen. Dafür gehst du folgendermaßen vor:

Zeichne die Strecke $\overline{AB} = 10\,cm$ (siehe türkis)
Zeichne einen Kreis um $A$ mit Radius $r=8\,cm$ (siehe grün)
Zeichne einen Kreis um $B$ mit Radius $r=9{,}5\,cm$ (siehe grün) und erhalte somit den Schnittpunkt $C$
Zeichne $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ ein (siehe orange)
Die Strecke $[AD]$ ist die Höhe vom Punkt $A$ zur gegenüberliegenden Seite (siehe rot)

Lösung zur Teilaufgabe B 2.2

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Winkel $\beta$ , $\epsilon$ und die Länge der Strecke $[AD]$ berechnen. Dafür kannst du den Kosinussatz die Winkelsumme des Dreiecks und eine trigonometrische Funktion verwenden.

Winkel Epsilon und Beta in Dreiecken ABD und ABC

Im Dreieck $ABC$ haben wir zwar keinen rechten Winkel, jedoch sind die Längen aller drei Strecken gegeben. Daher können wir den Kosinussatz benutzen.

$\displaystyle \overline{AC}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(\beta)$
	↓	Setze ein
$\displaystyle 64$	$=$	$\displaystyle 100\,+\,90{,}25\,-\,2\cdot10\cdot9{,}5\cdot cos(\beta)$	$\displaystyle -190{,}25$
$\displaystyle -126{,}25$	$=$	$\displaystyle -190\cdot cos(\beta)$	$\displaystyle :(-190)$
$\displaystyle 0{,}66$	$=$	$\displaystyle cos(\beta)$	$\displaystyle cos^{-1}(…)$
$\displaystyle \beta$	$=$	$\displaystyle 48{,}36^{\circ}$

Im Dreieck $ADB$ haben wir nun bereits einen rechten Winkel und $\beta=48{,}36^{\circ}$ gegeben. Der Winkel $\epsilon$ lässt sich somit über die Winkelsumme des Dreiecks berechnen.

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Das Dreieck ADB ist rechtwinklig mit $\overline{AB}=10\,cm$ . Wir können eine trigonometrische Funktion zur Berechnung von $\overline{AD}$ benutzen.

Von $\beta$ aus gesehen ist $\overline{AB}$ die Hypotenuse und $\overline{AD}$ die Gegenkathete.

$\displaystyle sin(\beta)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}}$
	↓	Setze ein
$\displaystyle sin(48{,}36^{\circ})$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AD}}{10\,cm}$	$\displaystyle \cdot10\,cm$

$\Rightarrow\overline{AD}=7{,}47\,cm$

Lösung zur Teilaufgabe B 2.3

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $ABG$ einzeichnen und die Länge der Strecke $[CG]$ bestimmen.

Einzeichnen des Dreiecks ABG

Um das Dreieck $ABG$ zu zeichnen, muss man die Strecke $[BC]$ verlängern und eine Gerade einzeichnen, die im $70°$ Winkel zur Strecke $[AB]$ steht (siehe orange). Trage dazu den Winkel mit deinem Geodreieck ab. Der Schnittpunkt der Verlängerung und der Gerade ist der Punkt $G$ .

Berechnung der Länge von [CG]

Die Strecke $\overline{CG}$ lässt sich aus der Differenz $\overline{CG}=\overline{BG}-\overline{BC}=\overline{BG}-9{,}5\,cm$ berechnen.

Dazu müssen wir erst die Länge der Strecke $[BG]$ herausfinden.

Wir kennen den gegenüberliegenden Winkel der Strecke $[BG]$ , nämlich $\angle{BAG}=70^{\circ}$ . Bei genauerem Hinsehen bemerken wir, dass wir sowohl $\sphericalangle{GBA} =48{,}36^{\circ}$ und somit auch $\sphericalangle{BGA}=180^{\circ}-70^{\circ}-48{,}36^{\circ}=61{,}64^{\circ}$ kennen. Außerdem ist $\overline{AB}=10\,cm$ gegeben, welche die gegenüberliegende Strecke von $\sphericalangle{BGA}$ ist. Diese Voraussetzungen führen uns zum Sinussatz.

$\displaystyle \dfrac{\overline{BG}}{sin(\sphericalangle{BAG})}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AB}}{sin(\sphericalangle{AGB})}$
$\displaystyle \dfrac{\overline{BG}}{sin(70^{\circ})}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\,cm}{sin(61{,}64^{\circ})}$	$\displaystyle \cdot sin(70^{\circ})$
$\displaystyle \overline{BG}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\,cm}{sin(61{,}64^{\circ})}\cdot sin(70^{\circ})$
	$≈$	$\displaystyle 10{,}68\,cm$

Damit können wir $\overline{CG}$ berechnen:

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Lösung zur Teilaufgabe B 2.4

Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Inkreis des Dreiecks $ABD$ einzeichnen.

Der Mittelpunkt $M$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck $ABD$ . Es reicht zwei dieser Winkelhalbierenden zu konstruieren (siehe orange). Danach entnimmst du den Radius des Kreises anhand eines Schnittpunktes des Kreises mit dem Dreieck $ABD$ .

Auch den anderen Schnittpunkt kannst du der Zeichnung entnehmen und somit die Strecken $[MF]$ und $[ME]$ einzeichnen.

Lösung zur Teilaufgabe B 2.5

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Maß $\phi$ des Winkels $AMB$ sowie den Innenradius $r =$ berechnen.

Wir kennen bereits die Winkel $\epsilon = 41{,}64^{\circ}$ und $\beta = 48{,}36^{\circ}$ . Im Dreieck $AMB$ werden sie durch die Winkelhalbierenden halbiert! Daher reicht es, die Innenwinkelsumme des Dreiecks zu betrachten.

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Um den Radius zu berechnen, betrachten wir das rechtwinklige Dreieck $EMB$ . Wie in Aufgabe $2.4$ gesehen, ist die Strecke $[ME]$ der Radius $r$ des Inkreises.

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Wir benötigen also noch die Länge der Strecke $[MB]$ .

Im Dreieck $AMB$ kennen wir alle Winkel und eine Strecke ( $\overline{AB}=10\,cm$ ). Diese Voraussetzung verleitet uns zum Sinussatz.

$\displaystyle \dfrac{\overline{MB}}{sin(0{,}5\cdot \varepsilon)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AB}}{sin(\varphi)}$	$\displaystyle \cdot sin(0{,}5\cdot\varepsilon)$
$\displaystyle \overline{MB}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AB}}{sin(\varphi)}\cdot sin(0{,}5\cdot \varepsilon)$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\,cm}{sin(135^{\circ})}\cdot sin(20{,}82^{\circ})$
	$=$	$\displaystyle 5{,}03$

Nun können wir auch den Radius berechnen:

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Lösung zur Teilaufgabe B 2.6

In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$ bestimmen.

Innenkreis des Dreiecks ABD und Viereck AEMF in ABD

Innenkreis des Dreiecks ABD mit dem Kreissegment EMF

Das Viereck $AFME$ lässt sich durch die Strecke $[AM]$ in zwei Dreiecke zerstückeln. Die Dreiecke $AFM$ und $AME$ sind kongruent, da sie zwei gleich große Winkel $\sphericalangle{FAM} = \sphericalangle {MAE}$ , $\sphericalangle{MFA} = \angle{AEM}$ und beide die Strecke $[AM]$ besitzen. Der Flächeninhalt lässt sich somit berechnen mit der Formel:

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Der Flächeninhalt des Kreissektors $MFE$ lässt sich berechnen mit der Formel:

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Den gesuchten Flächeninhalt $A$ berechnet man also mit:

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Hierfür fehlen uns jedoch noch die Länge der Strecke $[AE]$ und die Größe des Winkels $\angle{FME}$ .

Betrachte das Dreieck $AME$ , in welchem der Winkel $0{,}5\cdot \varepsilon$ und $r=2{,}06\,cm$ gegeben sind. Wegen $tan(0{,}5\cdot \varepsilon)=\dfrac{r}{\overline{AE}}$ erhalten wir die Länge der Strecke $[AE]$ durch:

\displaystyle \epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}

Dreieck ABD mit Innenkreis, Dreieck AEM mit Winkel EAM

Im Viereck $AFME$ sind drei von vier Winkel bekannt und wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Vierecks $360°$ beträgt, so lässt sich unser gesuchter Winkel leicht berechnen als $\sphericalangle{FME} = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 41{,}64^{\circ} = 138{,}36^{\circ}$

Viereck AEMF mit Winkel FME in Dreieck ABD mit Innenkreis

Nun kennen wir alle nötigen Größen und Längen, um unseren gesuchten Flächeninhalt zu berechnen:

$A=A_{AFME} - A_{\text{Sektor}}= 2\cdot 0{,}5\cdot \overline{AE}\cdot r - r^2\cdot \pi \cdot \dfrac{\sphericalangle{FME}}{360^{\circ}} \\ \; \; \,= 2\cdot 0{,}5\cdot 5{,}42\,cm \cdot 2{,}06\,cm - (2{,}06\,cm)^2\cdot \pi \cdot \dfrac{138{,}36^{\circ}}{360^{\circ}}=6{,}04\,cm^2$