Teil B

Lösung zur Teilaufgabe a

Bei dieser Teilaufgabe sollst du eine Parabelfunktion aufstellen und danach den Graphen dieser in ein Koordinatensystem einzeichnen.

Aufstellen der Parabelfunktion

Um die Parameter der Parabelfunktion zu bestimmen, setzt du die beiden Punkte $P$ und $Q$ jeweils in die Parabelgleichung ein und erhältst so ein Gleichungssystem.

Setze zuerst den Punkt $P(-3|0)$ in die Parabelgleichung $y=ax^2+0{,}5x+c$ ein.

$y=ax^2+0{,}5x+c$

$0 = a \cdot (-3)^2 + 0{,}5 \cdot (-3) +c$

$0 = 9a -1{,}5+c$

Daraus erhältst du deine erste Gleichung. Die zweite erhältst du durch Einsetzen von $Q(5|0)$.

$y=ax^2+0{,}5x+c$

$0=a\cdot5^2+0{,}5\cdot5+c$

$0 = 25a +2{,}5 + c$

Diese zwei Gleichungen kannst du nun beispielsweise mit dem Einsetzungsverfahren lösen.

$I \hspace{1cm} 0=9a-1{,}5+c$

$II\quad\quad~~0=25a+2{,}5+c$

Löse dazu die erste Gleichung nach $c$ auf.

$I' \hspace{1cm} c=-9a+1{,}5$

Setze $I'$ in die zweite Gleichung ein:

$I'\; \text{in} \; II:$

$0 = 25a + 2{,}5 + (-9a+1{,}5)$

$0 = 25a+2{,}5-9a+1{,}5$

$0 = 16a +4$

Löse diese Gleichung nach $a$ auf:

Du erhältst $a=-0{,}25$. Berechne nun mithilfe von $I'$ den Wert für $c$.

$a$ in $I'$:

$c=-9\cdot (-0{,}25) +1{,}5$

$c=3{,}75$

Setze $a$ und $c$ nun in die Parabelgleichung aus der Angabe ein.

$y=-0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75$

Zeichnen der Parabel und der Geraden

Um die Parabel zu zeichnen, kannst du dir eine Wertetabelle über deinen Taschenrechner ausgeben lassen. Anschließend überträgst du die Punkte in dein Koordinatensystem.

Lösung zur Teilaufgabe b

In dieser Teilaufgabe geht es darum, zwei Parallelogramme mit genauen Eckpunkten in die Zeichnung der Teilaufgabe a) einzuzeichnen.

Betrachte zuerst die Punkte $A_n$ und $B_n$.

Die Punkte $A_n$ liegen auf der Parabel. Du kannst den ersten Punkt $A_1$ einzeichnen, indem du bei $x=-2$ den zugehörigen Punkt auf der Parabel markierst.

Die Punkte $B_n$ liegen auf der Geraden. Für $B_1$ bleibt $x=-2$. Suche den zugehörigen Punkt auf der Geraden, zeichne ihn ein und beschrifte ihn!

Der Punkt $D_1$ soll nun dieselbe Abszisse haben wie der Punkt $C_1$. Dadurch weißt du also, dass er auch auf der $y$-Achse liegen muss.

Um ihn jetzt genau bestimmen zu können, musst du die Eigenschaften des Parallelogramms betrachten. Dabei sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

Du weißt also, dass $D_1A_1$ parallel zu $B_1C_1$ sein muss. Damit ist diese Seite auch parallel zur Geraden $g(x)$.

Zeichne eine parallele Gerade durch den Punkt $A_1$ und suche die Schnittstelle mit der $y$-Achse, um den Punkt $D_1$ zu finden!

Für das zweite Parallelogramm $A_2B_2C_2D_2$ wiederholst du die oben genannten Schritte. $A_2$ und $B_2$ liegen bei $x=3$. $C_2$ und $D_2$ liegen bei $x=5$.

Du solltest folgendes Bild erhalten:

Lösung zur Teilaufgabe c

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Länge der Strecke $[A_nB_n]$in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ angeben.

Du sollst also $\overline{A_nB_n}$ bestimmen. Dafür musst du dir die spezielle Lage der Punkte anschauen. Die Punkte $A_n$ liegen auf der Parabel $p(x)$, die Punkte $B_n$ liegen auf $g(x)$. Die $x$-Werte der beiden Punkte sind immer gleich.

Die Länge der Strecke zwischen diesen Punkten ergibt sich dadurch, indem du den $y$-Wert von $B_n$ von $A_n$ abziehst.

Da die $y$-Werte jeweils durch die Funktionen $p(x)$ und $g(x)$ dargestellt werden, kannst du die folgende Rechnung aufstellen:

$\overline{A_nB_n}=p(x)-g(x)$

$\overline{A_nB_n}= -0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75-(-0{,}1x-2)$

$\overline{A_nB_n}= -0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75$

Du erhältst somit für die Strecke $\overline{A_nB_n}$ die von $x$-abhängige Strecke $\overline{A_nB_n}(x)= (-0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75)\;\text{LE}$.

Lösung zur Teilaufgabe d

Bei dieser Teilaufgabe sollst du herausfinden, ob es ein Parallelogramm $A_nB_nC_ND_n$ mit einem Flächeninhalt von $13\;\text{FE}$ gibt.

Der Flächeninhalt eines Parallelogramms lässt sich mithilfe der folgenden Formel bestimmen:

$A=g \cdot h$

Dabei ist $g$ die Grundlinie und $h$ die dazugehörige Höhe.

Stelle nun den Term für den Flächeninhalt auf!

$A = \overline{A_nB_n} \cdot h$

$A(x)= (-0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75) \cdot 2\;\text{FE}$

$A(x)=(-0{,}5x^2+1{,}2x+11{,}5)\;\text{FE}$

Um zu entscheiden, ob es einen Flächeninhalt von $13\,\text{FE}$ gibt, musst du diesen Wert mit dem Term für den Flächeninhalt gleichsetzen.

$13 = -0{,}5x^2+1{,}2x+11{,}5$

Stelle diese Gleichung um, sodass $0$ auf der linken Seite steht.

Unter der Wurzel in der Mitternachtsformel kommt ein negativer Wert heraus. Aus diesem Grund ist die Gleichung nicht lösbar.

Du kannst darauf folgern, dass es kein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $13\,\text{FE}$ gibt.

Lösung zur Teilaufgabe e

In dieser Teilaufgabe sollst du die $x$-Koordinaten der Punkte $A_3$ und $A_4$ der Rauten $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4$ bestimmen.

Grundlage zur Lösung dieser Aufgabe sind die Eigenschaften einer Raute. Bei Rauten haben alle vier Seiten die gleiche Länge.

Du weißt bereits, dass die Längen $B_nC_n$ und $D_nA_n$ bei jedem der Parallelogramme dieselbe Länge haben. Das ergibt sich durch ihre Lage auf der Geraden und dem festen Unterschied der Abszisse zwischen den Punkten.

Bestimme daher nun die Länge dieser Strecke!

$\overline{B_nC_n}$ kannst du jetzt über den Satz des Pythagoras berechnen.

$\left(\overline{B_nC_n}\right)^2= 2^2+0{,}2^2$

$\overline{B_nC_n}=\sqrt{4+0{,}04}=2{,}01\;\text{LE}$

Bei einer Raute müssen nun die anderen beiden Seiten $A_nB_n$ und $C_nD_n$ dieselbe Länge, nämlich $2{,}01 \,\text{LE}$ haben.

In der Aufgabe c) hast du bereits eine Formel zur Bestimmung der Strecke $A_nB_n$ aufgestellt. Setze diese mit $2{,}01 \, \text{LE}$ gleich und löse nach $x$ auf!

Nutze die Mitternachtsformel, um diese Gleichung zu lösen:

$x_{3/4}=\dfrac{-0{,}6\pm\sqrt{0{,}6^2-4 \cdot (-0{,}25)\cdot 3{,}74}}{2 \cdot (-0{,}25)}$

Du erhältst:

$x_3 = -2{,}85$

$x_4=5{,}25$

Die $x$-Werte der Punkte $A_3$ und $A_4$ sind $x_3 = -2{,}85$ und $x_4=5{,}25$.

Lösung zur Teilaufgabe f

Bei dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass es kein Rechteck $A_nB_nC_nD_n$ gibt. Du kannst es zum Beispiel mit folgender Überlegung begründen:

Die Strecken $A_nB_n$ und $C_nD_n$ verlaufen immer entlang derselben Abszisse, sie sind also parallel zur $y$-Achse.

Die Strecken $B_nC_n$ und $D_nA_n$ verlaufen immer auf/ bzw. parallel zur Geraden $g(x)$.

Die Gerade $g(x)$ steht allerdings nicht senkrecht auf die $y$-Achse. Es ist somit nicht möglich, dass es im Parallelogramm $A_nB_nC_nD_n$ rechte Winkel gibt.

Somit kann es kein Rechteck geben.

Lösung zur Teilaufgabe a

In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $ABC$ mit dem Punkt $D$ und der Strecke $AD$ zeichnen. Dafür gehst du folgendermaßen vor:

1. Zeichne die Strecke $\overline{AB} = 10\,\text{cm}$ (siehe türkis)

2. Zeichne einen Kreis um $A$ mit Radius $r=8\,\text{cm}$ (siehe grün)

3. Zeichne einen Kreis um $B$ mit Radius $r=9{,}5\,\text{cm}$ (siehe grün) und erhalte somit den Schnittpunkt $C$

4. Zeichne $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ ein (siehe orange)

5. Die Strecke $[AD]$ ist die Höhe vom Punkt $A$ zur gegenüberliegenden Seite (siehe rot)

Lösung zur Teilaufgabe b

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Winkel $\beta$, $\epsilon$ und die Länge der Strecke $[AD]$ berechnen. Dafür kannst du den Kosinussatz, die Winkelsumme des Dreiecks und eine trigonometrische Funktion verwenden.

Im Dreieck $ABC$ haben wir zwar keinen rechten Winkel, jedoch sind die Längen aller drei Strecken gegeben. Daher können wir den Kosinussatz benutzen.

Im Dreieck $ADB$ haben wir nun bereits einen rechten Winkel und $\beta=48{,}36^{\circ}$ gegeben. Der Winkel $\epsilon$ lässt sich somit über die Winkelsumme des Dreiecks berechnen.

$\epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}$

Das Dreieck ADB ist rechtwinklig mit $\overline{AB}=10\,\text{cm}$. Wir können eine trigonometrische Funktion zur Berechnung von $\overline{AD}$ benutzen.

Von $\beta$ aus gesehen ist $\overline{AB}$ die Hypotenuse und $\overline{AD}$ die Gegenkathete.

$\Rightarrow\overline{AD}=7{,}47\,\text{cm}$

Lösung zur Teilaufgabe c

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $ABG$ einzeichnen und die Länge der Strecke $[CG]$ bestimmen.

Einzeichnen des Dreiecks ABG

Berechnung der Länge von [CG]

Die Strecke $\overline{CG}$ lässt sich aus der Differenz $\overline{CG}=\overline{BG}-\overline{BC}=\overline{BG}-9{,}5\,\text{cm}$ berechnen.

Dazu müssen wir erst die Länge der Strecke $[BG]$ herausfinden.

Wir kennen den gegenüberliegenden Winkel der Strecke $[BG]$, nämlich $\angle{BAG}=70^{\circ}$. Bei genauerem Hinsehen bemerken wir, dass wir sowohl $\sphericalangle{GBA} =48{,}36^{\circ}$ und somit auch $\sphericalangle{BGA}=180^{\circ}-70^{\circ}-48{,}36^{\circ}=61{,}64^{\circ}$ kennen. Außerdem ist $\overline{AB}=10\,\text{cm}$ gegeben, welche die gegenüberliegende Strecke von $\sphericalangle{BGA}$ ist. Diese Voraussetzungen führen uns zum Sinussatz.

Damit können wir $\overline{CG}$ berechnen:

$\overline{CG}=10{,}68\,\text{cm}-9{,}5\,\text{cm}=1{,}18\,\text{cm}$

Lösung zur Teilaufgabe d

Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Inkreis des Dreiecks $ABD$ einzeichnen.

Der Mittelpunkt $M$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck $ABD$. Es reicht zwei dieser Winkelhalbierenden zu konstruieren (siehe orange). Danach entnimmst du den Radius des Kreises anhand eines Schnittpunktes des Kreises mit dem Dreieck $ABD$.

Auch den anderen Schnittpunkt kannst du der Zeichnung entnehmen und somit die Strecken $[MF]$ und $[ME]$ einzeichnen.

Lösung zur Teilaufgabe e

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Maß $\varphi$ des Winkels $AMB$ sowie den Innenradius $r$ berechnen.

Wir kennen bereits die Winkel $\epsilon = 41{,}64^{\circ}$ und $\beta = 48{,}36^{\circ}$. Im Dreieck $AMB$ werden sie durch die Winkelhalbierenden halbiert! Daher reicht es, die Innenwinkelsumme des Dreiecks zu betrachten.

Um den Radius zu berechnen, betrachten wir das rechtwinklige Dreieck $EMB$. Wie in Aufgabe d) gesehen, ist die Strecke $[ME]$ der Radius $r$ des Inkreises.

Wir benötigen also noch die Länge der Strecke $[MB]$.

Im Dreieck $AMB$ kennen wir alle Winkel und eine Strecke ($\overline{AB}=10\,\text{cm}$). Diese Voraussetzung bringt uns zum Sinussatz.

Nun können wir auch den Radius berechnen:

Lösung zur Teilaufgabe f

In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$ bestimmen.

Das Viereck $AFME$ lässt sich durch die Strecke $[AM]$ in zwei Dreiecke zerlegen. Die Dreiecke $AFM$ und $AME$ sind kongruent, da sie zwei gleich große Winkel $\sphericalangle{FAM} = \sphericalangle {MAE}$, $\sphericalangle{MFA} = \sphericalangle{AEM}$ und beide die Strecke $[AM]$ besitzen. Der Flächeninhalt lässt sich somit berechnen mit der Formel:

Der Flächeninhalt des Kreissektors $MFE$ lässt sich berechnen mit der Formel:

Den gesuchten Flächeninhalt $A$ berechnet man also mit:

Hierfür fehlen uns jedoch noch die Länge der Strecke $[AE]$ und die Größe des Winkels $\sphericalangle{FME}$.

Betrachte das Dreieck $AME$, in welchem der Winkel $0{,}5\cdot \varepsilon$ und $r=2{,}06\,\text{cm}$ gegeben sind. Wegen $\tan(0{,}5\cdot \varepsilon)=\dfrac{r}{\overline{AE}}$ erhalten wir die Länge der Strecke $[AE]$ durch:

Im Viereck $AFME$ sind drei von vier Winkel bekannt und wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Vierecks $360°$ beträgt, so lässt sich unser gesuchter Winkel leicht berechnen als $\sphericalangle{FME} = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 41{,}64^{\circ} = 138{,}36^{\circ}$

Nun kennen wir alle nötigen Größen und Längen, um unseren gesuchten Flächeninhalt zu berechnen:

$A=A_{AFME} - A_{\text{Sektor}}= 2\cdot 0{,}5\cdot \overline{AE}\cdot r - r^2\cdot \pi \cdot \dfrac{\sphericalangle{FME}}{360^{\circ}} \\ \; \; \,= 2\cdot 0{,}5\cdot 5{,}42\,\text{cm} \cdot 2{,}06\,\text{cm} - (2{,}06\,\text{cm})^2\cdot \pi \cdot \dfrac{138{,}36^{\circ}}{360^{\circ}}=6{,}04\,\text{cm}^2$