Lösung zur Teilaufgabe a

In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $ABC$ mit dem Punkt $D$ und der Strecke $AD$ zeichnen. Dafür gehst du folgendermaßen vor:

1. Zeichne die Strecke $\overline{AB} = 10\,\text{cm}$ (siehe türkis)

2. Zeichne einen Kreis um $A$ mit Radius $r=8\,\text{cm}$ (siehe grün)

3. Zeichne einen Kreis um $B$ mit Radius $r=9{,}5\,\text{cm}$ (siehe grün) und erhalte somit den Schnittpunkt $C$

4. Zeichne $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ ein (siehe orange)

5. Die Strecke $[AD]$ ist die Höhe vom Punkt $A$ zur gegenüberliegenden Seite (siehe rot)

Lösung zur Teilaufgabe b

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Winkel $\beta$, $\epsilon$ und die Länge der Strecke $[AD]$ berechnen. Dafür kannst du den Kosinussatz, die Winkelsumme des Dreiecks und eine trigonometrische Funktion verwenden.

Im Dreieck $ABC$ haben wir zwar keinen rechten Winkel, jedoch sind die Längen aller drei Strecken gegeben. Daher können wir den Kosinussatz benutzen.

Im Dreieck $ADB$ haben wir nun bereits einen rechten Winkel und $\beta=48{,}36^{\circ}$ gegeben. Der Winkel $\epsilon$ lässt sich somit über die Winkelsumme des Dreiecks berechnen.

$\epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}$

Das Dreieck ADB ist rechtwinklig mit $\overline{AB}=10\,\text{cm}$. Wir können eine trigonometrische Funktion zur Berechnung von $\overline{AD}$ benutzen.

Von $\beta$ aus gesehen ist $\overline{AB}$ die Hypotenuse und $\overline{AD}$ die Gegenkathete.

$\Rightarrow\overline{AD}=7{,}47\,\text{cm}$

Lösung zur Teilaufgabe c

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $ABG$ einzeichnen und die Länge der Strecke $[CG]$ bestimmen.

Einzeichnen des Dreiecks ABG

Berechnung der Länge von [CG]

Die Strecke $\overline{CG}$ lässt sich aus der Differenz $\overline{CG}=\overline{BG}-\overline{BC}=\overline{BG}-9{,}5\,\text{cm}$ berechnen.

Dazu müssen wir erst die Länge der Strecke $[BG]$ herausfinden.

Wir kennen den gegenüberliegenden Winkel der Strecke $[BG]$, nämlich $\angle{BAG}=70^{\circ}$. Bei genauerem Hinsehen bemerken wir, dass wir sowohl $\sphericalangle{GBA} =48{,}36^{\circ}$ und somit auch $\sphericalangle{BGA}=180^{\circ}-70^{\circ}-48{,}36^{\circ}=61{,}64^{\circ}$ kennen. Außerdem ist $\overline{AB}=10\,\text{cm}$ gegeben, welche die gegenüberliegende Strecke von $\sphericalangle{BGA}$ ist. Diese Voraussetzungen führen uns zum Sinussatz.

Damit können wir $\overline{CG}$ berechnen:

$\overline{CG}=10{,}68\,\text{cm}-9{,}5\,\text{cm}=1{,}18\,\text{cm}$

Lösung zur Teilaufgabe d

Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Inkreis des Dreiecks $ABD$ einzeichnen.

Der Mittelpunkt $M$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck $ABD$. Es reicht zwei dieser Winkelhalbierenden zu konstruieren (siehe orange). Danach entnimmst du den Radius des Kreises anhand eines Schnittpunktes des Kreises mit dem Dreieck $ABD$.

Auch den anderen Schnittpunkt kannst du der Zeichnung entnehmen und somit die Strecken $[MF]$ und $[ME]$ einzeichnen.

Lösung zur Teilaufgabe e

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Maß $\varphi$ des Winkels $AMB$ sowie den Innenradius $r$ berechnen.

Wir kennen bereits die Winkel $\epsilon = 41{,}64^{\circ}$ und $\beta = 48{,}36^{\circ}$. Im Dreieck $AMB$ werden sie durch die Winkelhalbierenden halbiert! Daher reicht es, die Innenwinkelsumme des Dreiecks zu betrachten.

Um den Radius zu berechnen, betrachten wir das rechtwinklige Dreieck $EMB$. Wie in Aufgabe d) gesehen, ist die Strecke $[ME]$ der Radius $r$ des Inkreises.

Wir benötigen also noch die Länge der Strecke $[MB]$.

Im Dreieck $AMB$ kennen wir alle Winkel und eine Strecke ($\overline{AB}=10\,\text{cm}$). Diese Voraussetzung bringt uns zum Sinussatz.

Nun können wir auch den Radius berechnen:

Lösung zur Teilaufgabe f

In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$ bestimmen.

Das Viereck $AFME$ lässt sich durch die Strecke $[AM]$ in zwei Dreiecke zerlegen. Die Dreiecke $AFM$ und $AME$ sind kongruent, da sie zwei gleich große Winkel $\sphericalangle{FAM} = \sphericalangle {MAE}$, $\sphericalangle{MFA} = \sphericalangle{AEM}$ und beide die Strecke $[AM]$ besitzen. Der Flächeninhalt lässt sich somit berechnen mit der Formel:

Der Flächeninhalt des Kreissektors $MFE$ lässt sich berechnen mit der Formel:

Den gesuchten Flächeninhalt $A$ berechnet man also mit:

Hierfür fehlen uns jedoch noch die Länge der Strecke $[AE]$ und die Größe des Winkels $\sphericalangle{FME}$.

Betrachte das Dreieck $AME$, in welchem der Winkel $0{,}5\cdot \varepsilon$ und $r=2{,}06\,\text{cm}$ gegeben sind. Wegen $\tan(0{,}5\cdot \varepsilon)=\dfrac{r}{\overline{AE}}$ erhalten wir die Länge der Strecke $[AE]$ durch:

Im Viereck $AFME$ sind drei von vier Winkel bekannt und wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Vierecks $360°$ beträgt, so lässt sich unser gesuchter Winkel leicht berechnen als $\sphericalangle{FME} = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 41{,}64^{\circ} = 138{,}36^{\circ}$

Nun kennen wir alle nötigen Größen und Längen, um unseren gesuchten Flächeninhalt zu berechnen:

$A=A_{AFME} - A_{\text{Sektor}}= 2\cdot 0{,}5\cdot \overline{AE}\cdot r - r^2\cdot \pi \cdot \dfrac{\sphericalangle{FME}}{360^{\circ}} \\ \; \; \,= 2\cdot 0{,}5\cdot 5{,}42\,\text{cm} \cdot 2{,}06\,\text{cm} - (2{,}06\,\text{cm})^2\cdot \pi \cdot \dfrac{138{,}36^{\circ}}{360^{\circ}}=6{,}04\,\text{cm}^2$