Lösung zur Teilaufgabe a

In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $ABC$ mit dem Punkt $D$ und der Strecke $AD$ zeichnen. Dafür gehst du folgendermaßen vor:

1. Zeichne die Strecke $\overline{AB}=10\text{cm}$ (siehe türkis)

2. Zeichne einen Kreis um $A$ mit Radius $r=8\text{cm}$ (siehe grün)

3. Zeichne einen Kreis um $B$ mit Radius $r=\mathrm{9,5}\text{cm}$ (siehe grün) und erhalte somit den Schnittpunkt $C$

4. Zeichne $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ ein (siehe orange)

5. Die Strecke $[AD]$ ist die Höhe vom Punkt $A$ zur gegenüberliegenden Seite (siehe rot)

Lösung zur Teilaufgabe b

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Winkel $\beta$, $ϵ$ und die Länge der Strecke $[AD]$ berechnen. Dafür kannst du den Kosinussatz, die Winkelsumme des Dreiecks und eine trigonometrische Funktion verwenden.

Im Dreieck $ABC$ haben wir zwar keinen rechten Winkel, jedoch sind die Längen aller drei Strecken gegeben. Daher können wir den Kosinussatz benutzen.

Im Dreieck $ADB$ haben wir nun bereits einen rechten Winkel und $\beta ={\mathrm{48,36}}^{\circ }$ gegeben. Der Winkel $ϵ$ lässt sich somit über die Winkelsumme des Dreiecks berechnen.

$ϵ={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-{\mathrm{48,36}}^{\circ }={\mathrm{41,64}}^{\circ }$

Das Dreieck ADB ist rechtwinklig mit $\overline{AB}=10\text{cm}$. Wir können eine trigonometrische Funktion zur Berechnung von $\overline{AD}$ benutzen.

Von $\beta$ aus gesehen ist $\overline{AB}$ die Hypotenuse und $\overline{AD}$ die Gegenkathete.

$\Rightarrow \overline{AD}=\mathrm{7,47}\text{cm}$

Lösung zur Teilaufgabe c

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $ABG$ einzeichnen und die Länge der Strecke $[CG]$ bestimmen.

Einzeichnen des Dreiecks ABG

Berechnung der Länge von [CG]

Die Strecke $\overline{CG}$ lässt sich aus der Differenz $\overline{CG}=\overline{BG}-\overline{BC}=\overline{BG}-\mathrm{9,5}\text{cm}$ berechnen.

Dazu müssen wir erst die Länge der Strecke $[BG]$ herausfinden.

Wir kennen den gegenüberliegenden Winkel der Strecke $[BG]$, nämlich $\angle BAG={70}^{\circ }$. Bei genauerem Hinsehen bemerken wir, dass wir sowohl $\sphericalangle GBA={\mathrm{48,36}}^{\circ }$ und somit auch $\sphericalangle BGA={180}^{\circ }-{70}^{\circ }-{\mathrm{48,36}}^{\circ }={\mathrm{61,64}}^{\circ }$ kennen. Außerdem ist $\overline{AB}=10\text{cm}$ gegeben, welche die gegenüberliegende Strecke von $\sphericalangle BGA$ ist. Diese Voraussetzungen führen uns zum Sinussatz.

Damit können wir $\overline{CG}$ berechnen:

$\overline{CG}=\mathrm{10,68}\text{cm}-\mathrm{9,5}\text{cm}=\mathrm{1,18}\text{cm}$

Lösung zur Teilaufgabe d

Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Inkreis des Dreiecks $ABD$ einzeichnen.

Der Mittelpunkt $M$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck $ABD$. Es reicht zwei dieser Winkelhalbierenden zu konstruieren (siehe orange). Danach entnimmst du den Radius des Kreises anhand eines Schnittpunktes des Kreises mit dem Dreieck $ABD$.

Auch den anderen Schnittpunkt kannst du der Zeichnung entnehmen und somit die Strecken $[MF]$ und $[ME]$ einzeichnen.

Lösung zur Teilaufgabe e

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Maß $\phi$ des Winkels $AMB$ sowie den Innenradius $r$ berechnen.

Wir kennen bereits die Winkel $ϵ={\mathrm{41,64}}^{\circ }$ und $\beta ={\mathrm{48,36}}^{\circ }$. Im Dreieck $AMB$ werden sie durch die Winkelhalbierenden halbiert! Daher reicht es, die Innenwinkelsumme des Dreiecks zu betrachten.

Um den Radius zu berechnen, betrachten wir das rechtwinklige Dreieck $EMB$. Wie in Aufgabe d) gesehen, ist die Strecke $[ME]$ der Radius $r$ des Inkreises.

Wir benötigen also noch die Länge der Strecke $[MB]$.

Im Dreieck $AMB$ kennen wir alle Winkel und eine Strecke ($\overline{AB}=10\text{cm}$). Diese Voraussetzung bringt uns zum Sinussatz.

Nun können wir auch den Radius berechnen:

Lösung zur Teilaufgabe f

In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$ bestimmen.

Das Viereck $AFME$ lässt sich durch die Strecke $[AM]$ in zwei Dreiecke zerlegen. Die Dreiecke $AFM$ und $AME$ sind kongruent, da sie zwei gleich große Winkel $\sphericalangle FAM=\sphericalangle MAE$, $\sphericalangle MFA=\sphericalangle AEM$ und beide die Strecke $[AM]$ besitzen. Der Flächeninhalt lässt sich somit berechnen mit der Formel:

Der Flächeninhalt des Kreissektors $MFE$ lässt sich berechnen mit der Formel:

Den gesuchten Flächeninhalt $A$ berechnet man also mit:

Hierfür fehlen uns jedoch noch die Länge der Strecke $[AE]$ und die Größe des Winkels $\sphericalangle FME$.

Betrachte das Dreieck $AME$, in welchem der Winkel $\mathrm{0,5}\cdot \epsilon$ und $r=\mathrm{2,06}\text{cm}$ gegeben sind. Wegen $\tan (\mathrm{0,5}\cdot \epsilon )={\displaystyle \frac{r}{\overline{AE}}}$ erhalten wir die Länge der Strecke $[AE]$ durch:

Im Viereck $AFME$ sind drei von vier Winkel bekannt und wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Vierecks $360°$ beträgt, so lässt sich unser gesuchter Winkel leicht berechnen als $\sphericalangle FME={360}^{\circ }-{90}^{\circ }-{90}^{\circ }-{\mathrm{41,64}}^{\circ }={\mathrm{138,36}}^{\circ }$

Nun kennen wir alle nötigen Größen und Längen, um unseren gesuchten Flächeninhalt zu berechnen:

$\begin{array}{l}A=A_{AFME}-A_{\text{Sektor}}=2\cdot \mathrm{0,5}\cdot \overline{AE}\cdot r-r^2\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{\sphericalangle FME}{{360}^{\circ }}}\\ =2\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{5,42}\text{cm}\cdot \mathrm{2,06}\text{cm}-(\mathrm{2,06}\text{cm}{)}^2\cdot \pi \cdot {\displaystyle \frac{{\mathrm{138,36}}^{\circ }}{{360}^{\circ }}}=\mathrm{6,04}{\text{cm}}^2\end{array}$