Teil B - lernen mit Serlo!

Gegeben ist das Dreieck $A B C$ mit $\overline{AB}=10~cm;~\overline{AC}=8~cm$ und $\overline{BC}=9{,}5~cm$ .

Der Punkt $D$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Eckpunkt $A$ auf die Seite $[B C]$ (siehe Skizze).

Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.

Zeichnen Sie das Dreieck $A B C$ und die Strecke $[A D]$ .
Lösung zur Teilaufgabe a
In dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $A B C$ mit dem Punkt $D$ und der Strecke $A D$ zeichnen. Dafür gehst du folgendermaßen vor:
Zeichne die Strecke $\overline{AB} = 10\,\text{cm}$ (siehe türkis)
Zeichne einen Kreis um $A$ mit Radius $r=8\,\text{cm}$ (siehe grün)
Zeichne einen Kreis um $B$ mit Radius $r=9{,}5\,\text{cm}$ (siehe grün) und erhalte somit den Schnittpunkt $C$
Zeichne $\overline{AC}$ und $\overline{BC}$ ein (siehe orange)
Die Strecke $[A D]$ ist die Höhe vom Punkt $A$ zur gegenüberliegenden Seite (siehe rot)
Dreieck ABC und AD mit Punkt D
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Berechnen Sie das Maß $\beta$ des Winkels $C B A$ , das Maß $\epsilon$ des Winkels $B A D$ und die Länge der Strecke $[A D]$ . $[$ Ergebnisse: $\beta=48{,}36°;~\epsilon=41{,}64°$ $]$

Lösung zur Teilaufgabe b

Bei dieser Teilaufgabe sollst du die Winkel $\beta$ , $\epsilon$ und die Länge der Strecke $[A D]$ berechnen. Dafür kannst du den Kosinussatz, die Winkelsumme des Dreiecks und eine trigonometrische Funktion verwenden.

Winkel Epsilon und Beta in Dreiecken ABD und ABC

Im Dreieck $A B C$ haben wir zwar keinen rechten Winkel, jedoch sind die Längen aller drei Strecken gegeben. Daher können wir den Kosinussatz benutzen.

$\displaystyle \overline{AC}^2$	$=$	$\displaystyle \overline{AB}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{BC}\cdot\cos(\beta)$
	↓	Setze ein
$\displaystyle 64$	$=$	$\displaystyle 100\,+\,90{,}25\,-\,2\cdot10\cdot9{,}5\cdot cos(\beta)$	$\displaystyle -190{,}25$
$\displaystyle -126{,}25$	$=$	$\displaystyle -190\cdot \cos (\beta )$	$\displaystyle :(-190)$
$\displaystyle 0{,}66$	$=$	$\displaystyle \cos (\beta )$	$\displaystyle \cos ^{-1}(\dots )$
$\displaystyle \beta$	$\approx ≈$	$\displaystyle 48{,}36^{\circ }$

Im Dreieck $A D B$ haben wir nun bereits einen rechten Winkel und $\beta=48{,}36^{\circ}$ gegeben. Der Winkel $\epsilon$ lässt sich somit über die Winkelsumme des Dreiecks berechnen.

$\epsilon=180^{\circ}-90^{\circ}-48{,}36^{\circ}=41{,}64^{\circ}$

Das Dreieck ADB ist rechtwinklig mit $\overline{AB}=10\,\text{cm}$ . Wir können eine trigonometrische Funktion zur Berechnung von $\overline{AD}$ benutzen.

Von $\beta$ aus gesehen ist $\overline{AB}$ die Hypotenuse und $\overline{AD}$ die Gegenkathete.

$\displaystyle \sin(\beta)$	$=$	$\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}}$
	↓	Setze ein
$\displaystyle \sin (48{,}36^{\circ })$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AD}}{10\,\text{cm}}$	$\displaystyle \cdot10\,\text{cm}$

$\Rightarrow\overline{AD}=7{,}47\,\text{cm}$

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Der Punkt $G$ auf der Verlängerung der Strecke $[B C]$ über $C$ hinaus ist ein Eckpunkt des Dreiecks $A B G$ . Der Winkel $B A G$ hat das Maß $70 °$ .

Zeichnen Sie das Dreieck $A B G$ und berechnen Sie die Länge der Strecke $[C G]$ .

Lösung zur Teilaufgabe c

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Dreieck $A B G$ einzeichnen und die Länge der Strecke $[C G]$ bestimmen.

Einzeichnen des Dreiecks ABG

Um das Dreieck $A B G$ zu zeichnen, muss man die Strecke $[B C]$ verlängern und eine Gerade einzeichnen, die im $70 °$ Winkel zur Strecke $[A B]$ steht (siehe orange). Trage dazu den Winkel mit deinem Geodreieck ab. Der Schnittpunkt der Verlängerung und der Gerade ist der Punkt $G$ .

Berechnung der Länge von [CG]

Die Strecke $\overline{CG}$ lässt sich aus der Differenz $\overline{CG}=\overline{BG}-\overline{BC}=\overline{BG}-9{,}5\,\text{cm}$ berechnen.

Dazu müssen wir erst die Länge der Strecke $[B G]$ herausfinden.

Wir kennen den gegenüberliegenden Winkel der Strecke $[B G]$ , nämlich $\angle{BAG}=70^{\circ}$ . Bei genauerem Hinsehen bemerken wir, dass wir sowohl $\sphericalangle{GBA} =48{,}36^{\circ}$ und somit auch $\sphericalangle{BGA}=180^{\circ}-70^{\circ}-48{,}36^{\circ}=61{,}64^{\circ}$ kennen. Außerdem ist $\overline{AB}=10\,\text{cm}$ gegeben, welche die gegenüberliegende Strecke von $\sphericalangle{BGA}$ ist. Diese Voraussetzungen führen uns zum Sinussatz.

$\displaystyle \dfrac{\overline{BG}}{\sin(\sphericalangle{BAG})}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AB}}{\sin(\sphericalangle{AGB})}$
$\displaystyle \dfrac{\overline{BG}}{\sin (70^{\circ })}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\,\text{cm}}{\sin(61{,}64^{\circ})}$	$\displaystyle \cdot \sin (70^{\circ })$
$\displaystyle \overline{BG}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\,\text{cm}}{\sin(61{,}64^{\circ})}\cdot \sin(70^{\circ})$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 10{,}68\,\text{cm}$

Damit können wir $\overline{CG}$ berechnen:

$\overline{CG}=10{,}68\,\text{cm}-9{,}5\,\text{cm}=1{,}18\,\text{cm}$

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Im Dreieck $A B D$ berührt der Inkreis $k$ die Seite $[A B]$ im Punkt $E$ und die Seite $[A D]$ im Punkt $F$ .
Zeichnen Sie den Inkreis $k$ mit seinem Mittelpunkt $M$ und die Strecken $[M E]$ und $[M F]$ in die Zeichnung zur Teilaufgabe a) ein.

Lösung zur Teilaufgabe d
Bei dieser Teilaufgabe sollst du den Inkreis des Dreiecks $A B D$ einzeichnen.
Der Mittelpunkt $M$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck $A B D$ . Es reicht zwei dieser Winkelhalbierenden zu konstruieren (siehe orange). Danach entnimmst du den Radius des Kreises anhand eines Schnittpunktes des Kreises mit dem Dreieck $A B D$ .
Auch den anderen Schnittpunkt kannst du der Zeichnung entnehmen und somit die Strecken $[M F]$ und $[M E]$ einzeichnen.
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Berechnen Sie das Maß $\varphi$ des Winkels $A M B$ und den Inkreisradius $r=\overline{ME}$ .

$[$ Ergebnisse: $\varphi=135°;~r=2{,}06\,\text{cm}$ $]$

Lösung zur Teilaufgabe e

Bei dieser Teilaufgabe sollst du das Maß $\varphi$ des Winkels $A M B$ sowie den Innenradius $r$ berechnen.

Wir kennen bereits die Winkel $\epsilon = 41{,}64^{\circ}$ und $\beta = 48{,}36^{\circ}$ . Im Dreieck $A M B$ werden sie durch die Winkelhalbierenden halbiert! Daher reicht es, die Innenwinkelsumme des Dreiecks zu betrachten.

\displaystyle \varphi = 180^{\circ} - 0{,}5\cdot41{,}64^{\circ} - 0{,}5\cdot48{,}36^{\circ}=135^{\circ}

Um den Radius zu berechnen, betrachten wir das rechtwinklige Dreieck $E M B$ . Wie in Aufgabe d) gesehen, ist die Strecke $[M E]$ der Radius $r$ des Inkreises.

\displaystyle \sin(0{,}5\cdot\beta)=\dfrac{r}{\overline{MB}}.

Wir benötigen also noch die Länge der Strecke $[M B]$ .

Im Dreieck $A M B$ kennen wir alle Winkel und eine Strecke ( $\overline{AB}=10\,\text{cm}$ ). Diese Voraussetzung bringt uns zum Sinussatz.

$\displaystyle \frac{\overline{MB}}{\sin(0{,}5\cdot\varepsilon)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AB}}{\sin (\varphi )}$	$\displaystyle \cdot \sin (0{,}5\cdot \varepsilon )$
$\displaystyle \overline{MB}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\overline{AB}}{\sin (\varphi )}\cdot \sin (0{,}5\cdot \varepsilon )$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{10\,\text{cm}}{\sin(135^{\circ})}\cdot \sin(20{,}82^{\circ})$
	$=$	$\displaystyle 5{,}03\,\text{cm}$

Nun können wir auch den Radius berechnen:

\displaystyle \Rightarrow r=\sin(24{,}18^{\circ})\cdot 5{,}03\,\text{cm}=2{,}06\,\text{cm}

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Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $A E F$ , das vom Kreisbogen $\overset{\frown}{FE}$ sowie von den Strecken $[E A]$ und $[A F]$ begrenzt wird.

Lösung zur Teilaufgabe f
In dieser Teilaufgabe sollst du den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $A E F$ bestimmen.
Innenkreis des Dreiecks ABD und Viereck AEMF in ABD
Innenkreis des Dreiecks ABD mit dem Kreissegment EMF
Das Viereck $A F M E$ lässt sich durch die Strecke $[A M]$ in zwei Dreiecke zerlegen. Die Dreiecke $A F M$ und $A M E$ sind kongruent, da sie zwei gleich große Winkel $\sphericalangle{FAM} = \sphericalangle {MAE}$ , $\sphericalangle{MFA} = \sphericalangle{AEM}$ und beide die Strecke $[A M]$ besitzen. Der Flächeninhalt lässt sich somit berechnen mit der Formel:
$\displaystyle A_{AFME} = 2\cdot 0{,}5\cdot \overline{AE}\cdot r$
Der Flächeninhalt des Kreissektors $M F E$ lässt sich berechnen mit der Formel:
$\displaystyle A_{Sektor} = r^2\cdot \pi \cdot \dfrac{\sphericalangle{FME}}{360^{\circ}}$
Den gesuchten Flächeninhalt $A$ berechnet man also mit:
$\displaystyle A=A_{AFME} - A_{Sektor}= 2\cdot 0{,}5\cdot \overline{AE}\cdot r - r^2\cdot \pi \cdot \dfrac{\sphericalangle{FME}}{360^{\circ}}$
Hierfür fehlen uns jedoch noch die Länge der Strecke $[A E]$ und die Größe des Winkels $\sphericalangle{FME}$ .
Betrachte das Dreieck $A M E$ , in welchem der Winkel $0{,}5\cdot \varepsilon$ und $r=2{,}06\,\text{cm}$ gegeben sind. Wegen $\tan(0{,}5\cdot \varepsilon)=\dfrac{r}{\overline{AE}}$ erhalten wir die Länge der Strecke $[A E]$ durch:
$\displaystyle \overline{AE}=\dfrac{r}{\tan(0{,}5\epsilon)}=\dfrac{2{,}06\,\text{cm}}{0{,}38}\approx5{,}42\,\text{cm}$
Dreieck ABD mit Innenkreis, Dreieck AEM mit Winkel EAM
Im Viereck $A F M E$ sind drei von vier Winkel bekannt und wir wissen, dass die Innenwinkelsumme eines Vierecks $360 °$ beträgt, so lässt sich unser gesuchter Winkel leicht berechnen als $\sphericalangle{FME} = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 41{,}64^{\circ} = 138{,}36^{\circ}$
Viereck AEMF mit Winkel FME in Dreieck ABD mit Innenkreis
Nun kennen wir alle nötigen Größen und Längen, um unseren gesuchten Flächeninhalt zu berechnen:
$A=A_{AFME} - A_{\text{Sektor}}= 2\cdot 0{,}5\cdot \overline{AE}\cdot r - r^2\cdot \pi \cdot \dfrac{\sphericalangle{FME}}{360^{\circ}} \\ \; \; \,= 2\cdot 0{,}5\cdot 5{,}42\,\text{cm} \cdot 2{,}06\,\text{cm} - (2{,}06\,\text{cm})^2\cdot \pi \cdot \dfrac{138{,}36^{\circ}}{360^{\circ}}=6{,}04\,\text{cm}^2$
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