Teil B

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Die Parabel $p$ verläuft durch die Punkte $P(-3|0)$ und $Q(5|0)$ . Sie hat eine Gleichung der Form $y=a\cdot x^2+ 0{,}5x+c$ mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R} \backslash \{ 0 \}$ , $c \in \mathbb{R}$ .
Die Gerade $g$ hat die Gleichung $y=-0{,}1x -2$ mit $\mathbb{G} = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ .
1. Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für $a$ und $c$ , dass die Parabel $p$ die Gleichung $y=-0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75$ hat.
  Zeichnen Sie sodann die Gerade $g$ sowie die Parabel $p$ für $x \in [-4;7]$ in ein Koordinatensystem ein.
  Für die Zeichnung: Längeneinheit $1 \, \text{cm}$ ; $-5 \leqq x \leqq 8; \; -5 \leqq y \leqq 5$
2. Punkte $A_n(x|-0{,}25x^2+0{,}5x+3{,}75)$ auf der Parabel $p$ und Punkte $B_n(x|-0{,}1x-2)$ auf der Geraden $g$ haben dieselbe Abszisse $x$ .
  Sie sind zusammen mit Punkten $C_n$ und $D_n$ für $x \in ]-3{,}74; 6{,}14[$ die Eckpunkte von Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ .
  Die Punkte $C_n$ liegen ebenfalls auf der Geraden $g$ . Dabei ist die Abszisse $x$ der Punkte $C_n$ jeweils um $2$ größer als die Abszisse $x$ der Punkte $B_n$ .
  Zeichnen Sie die Parallelogramme $A_1B_1C_1D_1$ für $x=-2$ und $A_2B_2C_2D_2$ für $x=3$ in das Koordinatensystem zu Teilaufgabe b) ein.
3. Berechnen Sie die Länge der Strecke $[A_nB_n]$ in Abhängigkeit von der Abszisse $x$ der Punkte $A_n$ .
  $[$ Ergebnis: $\overline{A_nB_n}(x)= (-0{,}25x^2+0{,}6x+5{,}75)\;\text{LE}$ $]$
4. Überprüfen Sie rechnerisch, ob es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt von $13 \, \text{FE}$ gibt.
  Ja, es gibt ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $13 ~FE$ .
  Nein, es gibt kein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $13 ~FE$ .
5. Unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ gibt es die Rauten $A_3B_3C_3D_3$ und $A_4B_4C_4D_4$ . Berechnen Sie die $x$ -Koordinate der Punkte $A_3$ und $A_4$ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet. $[$ Teilergebnis: $\overline{B_nC_n}=2{,}01 \, \text{LE}$ $]$
6. Begründen Sie, dass es unter den Parallelogrammen $A_nB_nC_nD_n$ kein Rechteck gibt.
2
Gegeben ist das Dreieck $ABC$ mit $\overline{AB}=10~cm;~\overline{AC}=8~cm$ und $\overline{BC}=9{,}5~cm$ .
Der Punkt $D$ ist der Fußpunkt des Lotes vom Eckpunkt $A$ auf die Seite $[BC]$ (siehe Skizze).
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1. Zeichnen Sie das Dreieck $ABC$ und die Strecke $[AD]$ .
2. Berechnen Sie das Maß $\beta$ des Winkels $CBA$ , das Maß $\epsilon$ des Winkels $BAD$ und die Länge der Strecke $[AD]$ . $[$ Ergebnisse: $\beta=48{,}36°;~\epsilon=41{,}64°$ $]$
3. Der Punkt $G$ auf der Verlängerung der Strecke $[BC]$ über $C$ hinaus ist ein Eckpunkt des Dreiecks $ABG$ . Der Winkel $BAG$ hat das Maß $70°$ .
  Zeichnen Sie das Dreieck $ABG$ und berechnen Sie die Länge der Strecke $[CG]$ .
4. Im Dreieck $ABD$ berührt der Inkreis $k$ die Seite $[AB]$ im Punkt $E$ und die Seite $[AD]$ im Punkt $F$ .
  Zeichnen Sie den Inkreis $k$ mit seinem Mittelpunkt $M$ und die Strecken $[ME]$ und $[MF]$ in die Zeichnung zur Teilaufgabe a) ein.
5. Berechnen Sie das Maß $\varphi$ des Winkels $AMB$ und den Inkreisradius $r=\overline{ME}$ .
  $[$ Ergebnisse: $\varphi=135°;~r=2{,}06\,\text{cm}$ $]$
6. Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ des Flächenstücks $AEF$ , das vom Kreisbogen $\overset{\frown}{FE}$ sowie von den Strecken $[EA]$ und $[AF]$ begrenzt wird.

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