Hier wird die Aufgabe gelöst, indem mit einem unbekannten Kapital K gerechnet wird. Du kannst aber auch einen Betrag (z.B. 100 €) als Kapital wählen und damit die Aufgabe lösen.

Erste Variante (2 Jahre mit 3% Zinsen)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_{\text{1}}=3\mathrm{\%};p_{\text{2}}=3\mathrm{\%}p\_\backslash text1\; =\; 3\backslash \%\backslash ,\; ;\backslash ,\; p\_\backslash text2\; =\; 3\backslash \%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr:

$K^{+}=K\cdot (1+p_{\text{1}})\{K^+\}\; =\; K\; \backslash cdot\; (1\; +\; p\_\backslash text1)$

Setze den Zinssatz ein und berechne:

$K_{3\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot (1+\mathrm{0,03})\{K\_\{3\backslash \%\}^+\}\; =\; K\; \backslash cdot\; (1\; +\; 0\{,\}03)$ $K_{3\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\{K\_\{3\backslash \%\}^+\}\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}03$

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{3\mathrm{\%}}^{+}\{K\_\{3\backslash \%\}^+\}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{3\mathrm{\%}\cdot 3\mathrm{\%}}^{+}=K_{3\mathrm{\%}}^{+}\cdot (1+p_{\text{2}})\{K\_\{3\backslash \%\; \backslash cdot\; 3\backslash \%\}^+\}\; =\; \{K\_\{3\backslash \%\}^+\}\; \backslash cdot\; (1\; +\; p\_\backslash text2)$

Setzte den neuen vermehrten Grundwert $K_{3\mathrm{\%}}^{+}\{K\_\{3\backslash \%\}^+\}$ ein.

$K_{3\mathrm{\%}\cdot 3\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\cdot (1+p_{\text{2}})K\_\{3\backslash \%\; \backslash cdot\; 3\backslash \%\}^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}03\; \backslash cdot\; (1\; +\; p\_\backslash text2)$

Setze den Zinssatz ein und berechne.

$K_{3\mathrm{\%}\cdot 3\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\cdot (1+\mathrm{0,03})K\_\{3\backslash \%\; \backslash cdot\; 3\backslash \%\}^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}03\; \backslash cdot\; (1\; +\; 0\{,\}03)$$K_{3\mathrm{\%}\cdot 3\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\cdot \mathrm{1,03}K\_\{3\backslash \%\; \backslash cdot\; 3\backslash \%\}^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}03\; \backslash cdot\; 1\{,\}03$$K_{3\mathrm{\%}\cdot 3\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,0609}K\_\{3\backslash \%\; \backslash cdot\; 3\backslash \%\}^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}0609$

Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_{\text{1}}=3\mathrm{\%};p_{\text{2}}=3\mathrm{\%}p\_\backslash text1\; =\; 3\backslash \%\backslash ,\; ;\backslash ,\; p\_\backslash text2\; =\; 3\backslash \%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{3\mathrm{\%}}^{+}\{K\_\{3\backslash \%\}^+\}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{3\mathrm{\%}\cdot 3\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,03}\cdot \mathrm{1,03}K\_\{3\backslash \%\; \backslash cdot\; 3\backslash \%\}^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}03\; \backslash cdot\; 1\{,\}03$

$K_{3\mathrm{\%}\cdot 3\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,0609}K\_\{3\backslash \%\; \backslash cdot\; 3\backslash \%\}^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}0609$

Antwort: Du erhältst das 1,0609-fache deines Startkapitals.

Zweite Variante (erstes Jahr 4%, zweites Jahr 2%)

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert /vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_{\text{1}}=4\mathrm{\%};p_{\text{2}}=2\mathrm{\%}p\_\backslash text1\; =\; 4\backslash \%\backslash ,\; ;\backslash ,\; p\_\backslash text2\; =\; 2\backslash \%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

$K^{+}=K\cdot (1+p_{\text{1}})K^+\; =\; K\; \backslash cdot\; (1\; +\; p\_\backslash text1)$

Setze den Zinssatz ein und berechne.

$K_{4\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot (1+\mathrm{0,04})K\_\{4\backslash \%\}^+\; =\; K\; \backslash cdot\; (1\; +\; 0\{,\}04)$ $K_{4\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}K\_\{4\backslash \%\}^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}04$

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{4\mathrm{\%}}^{+}K\_\{4\backslash \%\}^+$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{4\mathrm{\%}\cdot 2\mathrm{\%}}^{+}=K_{4\mathrm{\%}}^{+}\cdot (1+p_2)K\_\{4\backslash \%\; \backslash cdot\; 2\backslash \%\}\; ^+\; =\; K\_\{4\backslash \%\}^+\; \backslash cdot\; (1\; +\; p\_2)$

Setzte den neuen vermehrten Grundwert $K_{4\mathrm{\%}}^{+}\{K\_\{4\backslash \%\}^+\}$ ein.

$K_{4\mathrm{\%}\cdot 2\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}\cdot (1+p_2)K\_\{4\backslash \%\; \backslash cdot\; 2\backslash \%\}\; ^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}04\; \backslash cdot\; (1\; +\; p\_2)$

Setze den Zinssatz ein und brechne.

$K_{4\mathrm{\%}\cdot 2\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}\cdot (1+\mathrm{0,02})K\_\{4\backslash \%\; \backslash cdot\; 2\backslash \%\}\; ^+\; =\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}04\; \backslash cdot\; (1\; +\; 0\{,\}02)$$K_{4\mathrm{\%}\cdot 2\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}\cdot \mathrm{1,02}K\_\{4\backslash \%\; \backslash cdot\; 2\backslash \%\}\; ^+=\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}04\; \backslash cdot\; 1\{,\}02$$K_{4\mathrm{\%}\cdot 2\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,0608}K\_\{4\backslash \%\; \backslash cdot\; 2\backslash \%\}\; ^+=\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}0608$

Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.

$\Rightarrow \backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;$ Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.

Alternative Berechnung mit Dreisatz

Es handelt sich um eine Geldvermehrung, also um einen vermehrten Grundwert / vermehrtes Kapital. Gehe von einem Startkapital K aus.

Gegeben: $p_{\text{1}}=4\mathrm{\%};p_{\text{2}}=2\mathrm{\%}p\_\backslash text1\; =\; 4\backslash \%\backslash ,\; ;\backslash ,\; p\_\backslash text2\; =\; 2\backslash \%$ Gesucht: Vermehrungsfaktor über die zwei Jahre.

Berechne nun mit dem Dreisatz den vermehrten Grundwert nach dem ersten Jahr.

Du hast für das zweite Jahr nun einen neuen Grundwert $K_{4\mathrm{\%}}^{+}\{K\_\{4\backslash \%\}^+\}$ mit dem du rechnest.

Berechne nun den vermehrten Grundwert nach dem zweiten Jahr.

$K_{4\mathrm{\%}\cdot 2\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,04}\cdot \mathrm{1,02}K\_\{4\backslash \%\; \backslash cdot\; 2\backslash \%\}\; ^+=\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}04\; \backslash cdot\; 1\{,\}02$

$K_{4\mathrm{\%}\cdot 2\mathrm{\%}}^{+}=K\cdot \mathrm{1,0608}K\_\{4\backslash \%\; \backslash cdot\; 2\backslash \%\}\; ^+=\; K\; \backslash cdot\; 1\{,\}0608$

Antwort: Du erhältst das 1,0608-fache deines Startkapitals.

$\Rightarrow \backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;$ Das erste Angebot ist minimal vorteilhafter.