Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto\sqrt{3x-5}$ mit maximalem Definitionsbereich $\mathbb{D}$ . Geben Sie $\mathbb{D}$ an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(3 ∣ f (3))$ .

(6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich

Bei der Aufgabe soll der maximale Definitionsbereich einer Wurzelfunktion bestimmt und die Gleichung einer Tangente in einem Punkt der Funktion berechnet werden.

Maximaler Definitionsbereich

Der maximale Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen, für die gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}3x-5&\geq0\quad|+5\\3x&\geq5\quad|:3\\x&\geq\displaystyle\frac5 3\end{aligned}$

Also: $\mathbb{D}=\displaystyle [\frac5 3 ; +\infty[$

Die erste eckige Klammer ist einschließend, weil es sich um ein größer gleich Zeichen handelt, die zweite Klammer ist ausschließend, weil unendlich keine "echte" Zahl ist. Genauer kannst du das im Artikel zu Intervallen nachlesen.

Bestimmung der Tangente im Punkt $(3 ∣ f (3))$

Berechne zuerst die $y$ -Koordinate des Punkts.

$f(3)=\sqrt{3\cdot3-5}=2$ $\quad\quad\Rightarrow\;\text{Punkt}\;(3|2)$

Berechne die Ableitung $f^{'} (x)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(3x-5\right)^{-0{,}5}\cdot3$
	↓	x=3 einsetzen
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(3\cdot3-5\right)^{-0{,}5}\cdot3$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot4^{-0{,}5}\cdot3$
	↓	Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\frac{1}{\sqrt{4}}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\frac{1}{2}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}$
	↓	Geradengleichung für die Tangente $t$ im Punkt $(3 ∣ 2)$ aufstellen.
$\displaystyle t:\dfrac{y-y_B}{x-x_B}$	$=$	$\displaystyle f´\left(x_B\right)$
	↓	Setze die Koordinaten und den Wert der Ableitung für $x_{B}$ , $y_{B}$ und $f^{'} (x_{B})$ ein.
$\displaystyle t:\dfrac{y-2}{x-3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}$	$\displaystyle \cdot\left(x-3\right)$
$\displaystyle t:y-2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle t:y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{4}$

Die Tangente an den Punkt $(3 ∣ 2)$ ist also $y=\frac3 4 x- \frac14$ .

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Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. → Was bedeutet das?

Maximaler Definitionsbereich

Bestimmung der Tangente im Punkt (3∣f(3))(3|f(3))(3∣f(3))

Bestimmung der Tangente im Punkt $(3 ∣ f (3))$