Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto\sqrt{3x-5}$ mit maximalem Definitionsbereich $\mathbb{D}$ . Geben Sie $\mathbb{D}$ an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(3|f(3))$ .

(6 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Definitionsbereich

Bei der Aufgabe soll der maximale Definitionsbereich einer Wurzelfunktion bestimmt und die Gleichung einer Tangente in einem Punkt der Funktion berechnet werden.

Maximaler Definitionsbereich

Der maximale Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen, für die gilt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{aligned}3x-5&\geq0\quad|+5\\3x&\geq5\quad|:3\\x&\geq\displaystyle\frac5 3\end{aligned}$

Also: $\mathbb{D}=\displaystyle [\frac5 3 ; +\infty[$

Die erste eckige Klammer ist einschließend, weil es sich um ein größer gleich Zeichen handelt, die zweite Klammer ist ausschließend, weil unendlich keine "echte" Zahl ist. Genauer kannst du das im Artikel zu Intervallen nachlesen.

Bestimmung der Tangente im Punkt $(3|f(3))$

Berechne zuerst die $y$ -Koordinate des Punkts.

$f(3)=\sqrt{3\cdot3-5}=2$ $\quad\quad\Rightarrow\;\text{Punkt}\;(3|2)$

Berechne die Ableitung $f'(x)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(3x-5\right)^{-0{,}5}\cdot3$
	↓	x=3 einsetzen
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\left(3\cdot3-5\right)^{-0{,}5}\cdot3$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot4^{-0{,}5}\cdot3$
	↓	Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\frac{1}{\sqrt{4}}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle 0{,}5\cdot\frac{1}{2}\cdot3$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}$
	↓	Geradengleichung für die Tangente $t$ im Punkt $(3\|2)$ aufstellen.
$\displaystyle t:\dfrac{y-y_B}{x-x_B}$	$=$	$\displaystyle f´\left(x_B\right)$
	↓	Setze die Koordinaten und den Wert der Ableitung für $x_B$ , $y_B$ und $f'(x_B)$ ein.
$\displaystyle t:\dfrac{y-2}{x-3}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}$	$\displaystyle \cdot\left(x-3\right)$
$\displaystyle t:y-2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle t:y$	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}x-\dfrac{1}{4}$

Die Tangente an den Punkt $(3|2)$ ist also $y=\frac3 4 x- \frac14$ .

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=-x^3+9x^2-15x-25$ .
Weisen Sie nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x = 0$ die Steigung $-15$ .
(2) Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A(5|f(5))$ die x-Achse als Tangente.
(3) Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B(-1|f(-1))$ kann durch die Gleichung $y=-36x-36$ beschrieben werden.
(5 BE)

In dieser Aufgabe sollst du Steigungswerte und Tangenten einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berechnen
Teilaufgabe (1)
Berechne mit der 1. Ableitung von $f$ den Steigungswert für $x=0$ .
$f'(x)=-3x^2+18x-15$
$f'(0)=-15$
Teilaufgabe (2)
Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $A$ .
$f(5)=-125+9\cdot25-15\cdot5-25=0%$
Damit ist $A$ eine Nullstelle und die x-Achse Tangente, wenn $f'(5)=0$ .
$f'(5)=-3\cdot25+18\cdot5-15=0$
Alternative Überlegung:
Eine Nullstelle hat die x-Achse als Tangente, wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handelt.
Nachweis, dass $x=5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ ist, durch eine Polynomdivision.
$(-x^3+9x^2-15x-25):(x-5)^2$
$\begin {array} {l}(-x^3+9x^2-15x-25):(x^2-10x+25)=-x-1\\\hphantom{(} \underline {-x^3+10x^2-25x}\\\hphantom {(-x^3}-x^2+10x-25\\\hphantom{(-x^3+}\underline{-x^2+10x-25}\\\hphantom {(-x^3+9x^2-15x-} 0\end{array}$
Damit gilt: $f(x)=-(x+1)(x-5)^2$ .
Somit ist $x=5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ und die Tangente im Punkt $A$ ist die x-Achse.
Teilaufgabe (3)
Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $B$ :
$f(-1)=+1+9\cdot 1 + 15-25=0$
$B(-1|0)$
$f'(-1)=-3-18-15=-36$
Für die Geradengleichung der Tangente $t$ in $B$ gilt:
$t:\displaystyle \frac{y-y_B}{x-x_B} = f'(x_B)$
$t:\displaystyle \frac{y-0}{x+1}=-36\quad|\cdot (x+1)$
$t:y=-36x-36$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Aufgabe zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion $f$ mit dem Defintionsbereich $\mathbb{R}$ gehört. Der Scheitel der Parabel hat die x-Koordinate $3$ .
Betrachtet wird die in $\mathbb{R}$ definierte Integralfunktion $F:x\mapsto \displaystyle \int_3^xf(t)dt$ .
Wie viele Nullstellen hat $F\,$ ? Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.
(4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integralfunktion
In der Aufgabe soll eine Eigenschaft einer Integralfunktion einer ganzrationalen Funktion 2. Grades erfasst und ohne Rechnung begründet werden.
$F:x\mapsto \displaystyle \int_3^xf(x)dx$
Die Integralfunktion $F$ der stetigen Funktion $f$ repräsentiert immer die Flächenbilanz zwischen dem Graphen $f$ und der $x$ -Achse zwischen drei und dem Endwert $x$ .
Sie hat für $x=3$ eine erkennbare Nullstelle, weil ein Integral mit gleichem Anfangs- und Endwert null ist (die Fläche zwischen drei und drei ist null, weil es nur ein Punkt ist).
$x>3$
Wenn man von drei aus in positive $x$ -Richtung geht , ist der Graph von $f$ positiv, daher "kommt Fläche dazu" und $F$ ist auch positiv. Ab ca. $x=4{,}5$ ist die Fläche unter dem Graphen allerdings negativ. $F$ ist aber noch nicht an dieser Stelle negativ, sondern erst, wenn die negative Fläche betragsmäßig größer ist als die positive Fläche, die gesamte Flächenbilanz also negativ. An dieser Stelle gibt es dann eine Nullstelle ( $x_1$ in der Zeichnung) und danach sinkt der Funktionswert von $F$ immer weiter, es gibt also rechts der $3$ keine weiteren Nullstellen mehr.
$x<3$
Zeit also, in der anderen Richtung nach Nullstellen zu suchen. Wenn man von $x=3$ aus in negative $x$ -Richtung geht stellt auch hier fest, dass der Graph überhalb der $x$ -Achse verläuft, weil man allerdings in die negative Richtung geht, wird diese Fläche nun negativ gewertet. Also ist $F$ erst negativ. Das Vorzeichen von $f$ ändert sich bei ca. $1{,}5$ und $F$ hat eine Nullstelle, wenn die negative Fläche genauso groß ist, wie die positive Fläche (Flächenbilanz 0, $x_3$ in der Zeichnung oben), und wird danach immer größer (denke daran, weil wir in negative Richtung gehen trägt ein negativer Graph positiv zur Flächenbilanz bei), also haben wir alle Nullstellen gefunden.
$F$ hat also drei Nullstellen, eine bei $x=3$ , eine bei einem kleineren $x$ -Wert und eine bei einem größeren $x$ -Wert. Der Ort der Nullstellen spielt aber für die Antwort keine Rolle.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Für jeden Wert von $a$ mit $a\in \mathbb{R^+}$ ist eine Funktion $f_a$ durch $\displaystyle f_a(x)=\frac1a \cdot x^3-x$ mit $x\in\mathbb{R}$ gegeben.
a) (2 BE) Einer der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von $f_a$ dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.
b) (3 BE) Für jeden Wert von $a$ besitzt der Graph von $f_a$ genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$ , für den der Graph der Funktion $f_a$ an der Stelle $x=3$ einen Extrempunkt hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsschar
Die Aufgabe verlangt Verständnis für die Bedeutung des Scharparameters einer ganzrationalen Funktionenschar 3. Grades.
Teilaufgabe 4a
Abbildung 2 zeigt einen Graphen aus der Funktionenschar $f_a$ .
Begründung:
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für $x\rightarrow \pm \infty$ wird bestimmt durch das Vorzeichen des Faktors beim Glied mit dem höchsten Exponenten.
Da $a \in \mathbb{R}^+$ ist $\frac 1a >0$ und es gilt: $\displaystyle \lim_{x\mapsto+\infty} f_a(x)=+\infty$ .
Alternative Begründung ohne Grenzwertbetrachtung:
$f_a(x)$ läßt sich in Linearfaktoren zerlegen:
$f_a(x)=\displaystyle \frac {1}{a}x^3-x=\frac{1}{a}\cdot x \cdot (x^2-a)= \frac{1}{a}\cdot x \cdot (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})$
Beachte die Benutzung der 2. binomischen Formel für $x^2-a=x^2-(\sqrt{a})^2$ .
Für alle Werte $x_0$ mit $0<x_0<\sqrt{a}$ gilt dann wegen der Vorzeichenreihe $+\;+-\;+$ der Linearfaktoren, dass $f_a(x)<0$ .
In Worten: "plus mal plus mal minus mal plus ist minus".
Abbildung 2 ist also passend.
Teilaufgabe 4b
Notwendige Bedingung, dass $x=3$ ein Extremum ergibt: $f_{a}'(3)=0$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll}&&&\text{Differenziere}\;f_a(x)\\f_{a}'(x)&=&\displaystyle \frac{3}{a}x^2-1 &\text{Setze für}\; {\color{red}x}\;\text{den Wert 3 ein.}\\f_{a}'(3)&=&\displaystyle \frac{27}{a}-1&\text{Setze}\;f_{a}'(3)=0\\\displaystyle \frac{27}{a}-1&=&0&|\;\cdot a\;\text{(Gleichung für a!)}\\27-a&=&0\\\quad\quad a&=&27\end{array}$
Nachweis, dass $a=27$ für $x=3$ tatsächlich ein Extremum ergibt:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll}&&&\text{Differenziere}\;f_{a}'(x)\\f_{a}''(x)&=&\displaystyle \frac{6}{a}\cdot x&\text{Setze}\,{\color{red}a}=27\,\text{ein}.\\f_{27}''(x) &= &\displaystyle \frac{6}{27}\cdot x&\text{Setze}\,x=3.\\f_{27}''(3) &= &\displaystyle \frac{2}{3} > 0 &\Rightarrow \;x=3\;\text{ergibt für} \;f_{27}\;\text{ein lokales Minimum}. \end{array}$