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Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die Funktion f:x3x5f:x\mapsto\sqrt{3x-5} mit maximalem Definitionsbereich D\mathbb{D}. Geben Sie D\mathbb{D} an und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von ff im Punkt (3f(3))(3|f(3)).

    (6 BE)

  2. 2

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=x3+9x215x25f(x)=-x^3+9x^2-15x-25.

    Weisen Sie nach, dass ff folgende Eigenschaften besitzt:

    (1) Der Graph von ff besitzt an der Stelle x=0x = 0 die Steigung 15-15.

    (2) Der Graph von ff besitzt im Punkt A(5f(5))A(5|f(5)) die x-Achse als Tangente.

    (3) Die Tangente tt an den Graphen der Funktion ff im Punkt B(1f(1))B(-1|f(-1)) kann durch die Gleichung y=36x36y=-36x-36 beschrieben werden.

    (5 BE)

  3. 3

    Die Aufgabe zeigt eine nach unten geöffnete Parabel, die zu einer Funktion ff mit dem Defintionsbereich R\mathbb{R} gehört. Der Scheitel der Parabel hat die x-Koordinate 33.

    Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Integralfunktion F:x3xf(t)dtF:x\mapsto \displaystyle \int_3^xf(t)dt.

    Wie viele Nullstellen hat FF\,? Machen Sie Ihre Antwort ohne Rechnung plausibel.

    (4 BE)

    Abitur Analysis A 2 - 1
  4. 4

    Für jeden Wert von aa mit aR+a\in \mathbb{R^+} ist eine Funktion faf_a durch fa(x)=1ax3x\displaystyle f_a(x)=\frac1a \cdot x^3-x mit xRx\in\mathbb{R} gegeben.

    a) (2 BE) Einer der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von faf_a dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

    Auswahl einer Abbildung

    b) (3 BE) Für jeden Wert von aa besitzt der Graph von faf_a genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von aa, für den der Graph der Funktion faf_a an der Stelle x=3x=3 einen Extrempunkt hat.


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