Teilaufgabe (1)

Berechne mit der 1. Ableitung von $f$ den Steigungswert für $x=0$.

$f'(x)=-3x^2+18x-15$

$f'(0)=-15$

Teilaufgabe (2)

Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $A$.

$f(5)=-125+9\cdot25-15\cdot5-25=0$

Damit ist $A$ eine Nullstelle und die x-Achse Tangente, wenn $f'(5)=0$.

$f'(5)=-3\cdot25+18\cdot5-15=0$

Alternative Überlegung:

Eine Nullstelle hat die x-Achse als Tangente, wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handelt.

Nachweis, dass $x=5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ ist, durch eine Polynomdivision.

$(-x^3+9x^2-15x-25):(x-5)^2$

$\begin {array} {l}(-x^3+9x^2-15x-25):(x^2-10x+25)=-x-1\\\hphantom{(} \underline {-x^3+10x^2-25x}\\\hphantom {(-x^3}-x^2+10x-25\\\hphantom{(-x^3+}\underline{-x^2+10x-25}\\\hphantom {(-x^3+9x^2-15x-} 0\end{array}$

Damit gilt:$f(x)=-(x+1)(x-5)^2$.

Somit ist $x=5$ eine doppelte Nullstelle von $f$ und die Tangente im Punkt $A$ ist die x-Achse.

Teilaufgabe (3)

Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes $B$:

$f(-1)=+1+9\cdot 1 + 15-25=0$

$B(-1|0)$

$f'(-1)=-3-18-15=-36$

Für die Geradengleichung der Tangente $t$ in $B$ gilt:

$t:\displaystyle \frac{y-y_B}{x-x_B} = f'(x_B)$

$t:\displaystyle \frac{y-0}{x+1}=-36\quad|\cdot (x+1)$

$t:y=-36x-36$