Die Aufgabe verlangt Verständnis für die Bedeutung des Scharparameters einer ganzrationalen Funktionenschar 3. Grades.

Teilaufgabe 4a

Abbildung 2 zeigt einen Graphen aus der Funktionenschar $f_{a}f\_a$.

Begründung:

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für $x\to \pm \mathrm{\infty }x\backslash rightarrow\; \backslash pm\; \backslash infty$ wird bestimmt durch das Vorzeichen des Faktors beim Glied mit dem höchsten Exponenten.

Da $a\in {\mathbb{R}}^{+}a\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^+$ ist $\frac{1}{a}>0\backslash frac\; 1a\; >0$ und es gilt: ${\displaystyle \underset{x\mapsto +\mathrm{\infty }}{\lim }{f}_a(x)=+\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\; \backslash lim\_\{x\backslash mapsto+\backslash infty\}\; f\_a(x)=+\backslash infty$.

Alternative Begründung ohne Grenzwertbetrachtung:

$f_a(x)f\_a(x)$ läßt sich in Linearfaktoren zerlegen:

$f_a(x)={\displaystyle \frac{1}{a}{x}^3-x=\frac{1}{a}\cdot x\cdot (x^2-a)=\frac{1}{a}\cdot x\cdot (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})}f\_a(x)=\backslash displaystyle\; \backslash frac\; \{1\}\{a\}x^3-x=\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot\; x\; \backslash cdot\; (x^2-a)=\; \backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot\; x\; \backslash cdot\; (x-\backslash sqrt\{a\})(x+\backslash sqrt\{a\})$

Beachte die Benutzung der 2. binomischen Formel für $x^2-a=x^2-(\sqrt{a}{)}^{2}x^2-a=x^2-(\backslash sqrt\{a\})^2$.

Teilaufgabe 4b

Notwendige Bedingung, dass $x=3x=3$ ein Extremum ergibt: $f_a^{\mathrm{\prime }}(3)=0f\_\{a\}\text{'}(3)=0$.

Nachweis, dass $a=27a=27$ für $x=3x=3$ tatsächlich ein Extremum ergibt: