Analysis, Teil A, Aufgabengruppe 2

Für jeden Wert von $a$ mit $a\in \mathbb{R^+}$ ist eine Funktion $f_{a}$ durch $\displaystyle f_a(x)=\frac1a \cdot x^3-x$ mit $x\in\mathbb{R}$ gegeben.

a) (2 BE) Einer der beiden Abbildungen stellt einen Graphen von $f_{a}$ dar. Geben Sie an, für welche Abbildung dies zutrifft. Begründen Sie Ihre Antwort.

b) (3 BE) Für jeden Wert von $a$ besitzt der Graph von $f_{a}$ genau zwei Extrempunkte. Ermitteln Sie denjenigen Wert von $a$ , für den der Graph der Funktion $f_{a}$ an der Stelle $x = 3$ einen Extrempunkt hat.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsschar

Die Aufgabe verlangt Verständnis für die Bedeutung des Scharparameters einer ganzrationalen Funktionenschar 3. Grades.

Teilaufgabe 4a

Abbildung 2 zeigt einen Graphen aus der Funktionenschar $f_{a}$ .

Begründung:

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für $x\rightarrow \pm \infty$ wird bestimmt durch das Vorzeichen des Faktors beim Glied mit dem höchsten Exponenten.

Da $a \in \mathbb{R}^+$ ist $\frac 1a >0$ und es gilt: $\displaystyle \lim_{x\mapsto+\infty} f_a(x)=+\infty$ .

Alternative Begründung ohne Grenzwertbetrachtung:

$f_{a} (x)$ läßt sich in Linearfaktoren zerlegen:

$f_a(x)=\displaystyle \frac {1}{a}x^3-x=\frac{1}{a}\cdot x \cdot (x^2-a)= \frac{1}{a}\cdot x \cdot (x-\sqrt{a})(x+\sqrt{a})$

Beachte die Benutzung der 2. binomischen Formel für $x^2-a=x^2-(\sqrt{a})^2$ .

Für alle Werte $x_{0}$ mit $0<x_0<\sqrt{a}$ gilt dann wegen der Vorzeichenreihe $+ + - +$ der Linearfaktoren, dass $f_{a} (x) < 0$ .

In Worten: "plus mal plus mal minus mal plus ist minus".

Abbildung 2 ist also passend.

Teilaufgabe 4b

Notwendige Bedingung, dass $x = 3$ ein Extremum ergibt: $f_{a}'(3)=0$ .

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll}&&&\text{Differenziere}\;f_a(x)\\f_{a}'(x)&=&\displaystyle \frac{3}{a}x^2-1 &\text{Setze für}\; {\color{red}x}\;\text{den Wert 3 ein.}\\f_{a}'(3)&=&\displaystyle \frac{27}{a}-1&\text{Setze}\;f_{a}'(3)=0\\\displaystyle \frac{27}{a}-1&=&0&|\;\cdot a\;\text{(Gleichung für a!)}\\27-a&=&0\\\quad\quad a&=&27\end{array}$

Nachweis, dass $a = 27$ für $x = 3$ tatsächlich ein Extremum ergibt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array} {lcll}&&&\text{Differenziere}\;f_{a}'(x)\\f_{a}''(x)&=&\displaystyle \frac{6}{a}\cdot x&\text{Setze}\,{\color{red}a}=27\,\text{ein}.\\f_{27}''(x) &= &\displaystyle \frac{6}{27}\cdot x&\text{Setze}\,x=3.\\f_{27}''(3) &= &\displaystyle \frac{2}{3} > 0 &\Rightarrow \;x=3\;\text{ergibt für} \;f_{27}\;\text{ein lokales Minimum}. \end{array}$

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