Bestimmung der gemeinsamen Punkte von f und g

Die Funktionen $f$ und $g$ sollen für $x=-1$ und $x=0{,}5$, den gleichen Funktionswert besitzen. Bestimme diese gemeinsamen Punkte, in dem du $x=-1$ und $x=0{,}5$ in $g(x)$ einsetzt.

$g(x)=2x-1$

$g(-1)=2\cdot\left(-1\right)-1=-3$

$\;\;\rightarrow$ ${\mathrm P}_1\left(-1\vert-3\right)$

$g(0{,}5)=2\cdot0{,}5-1=0$

$\;\;\rightarrow$ ${\mathrm P}_2\left(0{,}5\vert\;0\right)$

Die Punkte $P_1$ und $P_2$ müssen nun auch auf dem Graphen von $f$ liegen.

Einsetzen der Punkte $P_1$ und $P_2$ in den Funktionsterm von $f$

$f(x)=a_2x^2+a_1x+3$

Setze $\mathrm{P}_1\left(-1|-3\right)$ in $f(x)$ ein.

Setze ${\mathrm P}_2\left(0{,}5\vert\;0\right)$ in $f(x)$ ein.

$a_1​$ und $a_2​$ müssen also auch diese Gleichung erfüllen, damit $f(0{,}5)=0$ ist und  $P_2$​ auf dem Graphen von $f$ liegt.

Gleichungssystem lösen

Nun hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten ($a_1$ und $a_2$) und kannst dieses lösen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} I)&a_2-a_1+3&=&-3\\II)&0{,}25a_2+0{,}5a_1+3&=&0\end{array}$

Nimm die $II)$ Gleichung $\cdot 4$, um sie zu vereinfachen.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl} I)&a_2-a_1+3&=&-3\\II')&a_2+2a_1+12&=&0\end{array}$

Wende nun das Additionsverfahren an.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcll}I)-II'):&\left(a_2-a_1+3\right)-\left(a_2+2a_1+12\right)&=&-3-0\\&a_2-a_1+3-a_2-2a_1-12&=&-3\\&-3a_1-9&=&-3&|+9\\&-3a_1&=&6&|:(-3)\\&a_1&=&-2\end{array}$

Jetzt kannst du $a_1$ in Gleichung $I)$, $II)$ oder $II')$ einsetzen und nach $a_2$ auflösen. Das Ergebnis sollte immer das Gleiche sein.

Einsetzen in $I)$ liefert:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}I)& a_2-(-2)+3&=&-3\\&a_2+2+3&=&-3\\&a_2+5&=&-3&|-5\\&a_2&=&-8\end{array}$

Du hast also jetzt $a_1$ und $a_2$ bestimmt. Setz die Werte noch in $f$ ein und du bist fertig.

$\Rightarrow$ $f(x)=-8\mathrm x^2-2\mathrm x+3$