Aufgaben zum Rationalmachen von Nennern

Mit diesen Übungsaufgaben zum Thema Wurzeln, lernst du den Nenner eines Bruchs mit Wurzeln rational zu machen.

1
Mache den Nenner rational. Vereinfache so weit wie möglich.
1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit dem Nenner erweitern .
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $=$ $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$
  ↓
  Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
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2. $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit $\sqrt{3}$ erweitern .
  $\frac{5}{2 \sqrt{3}}$ $=$ $\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$
  $=$ $\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{3}$
  ↓
  Fasse zusammen
  $=$ $\frac{5}{6} \sqrt{3}$
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3. $\frac{25}{\sqrt{125}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  $\frac{25}{\sqrt{125}}$ $=$ $\frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
  ↓
  Teilweise radizieren.
  $=$ $\frac{25}{5 \sqrt{5}}$
  ↓
  Mit $\sqrt{5}$ erweitern.
  $=$ $\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
  $=$ $\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$
  ↓
  Kürzen.
  $=$ $\sqrt{5}$
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4. $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nenner rational machen
  Mit dem Nenner erweitern .
  $\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$ $=$ $\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$
  ↓
  Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
  $=$ $\frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y}$
  $=$ $\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y}$
  ↓
  Bruch auseinanderziehen.
  $=$ $\frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y}$
  ↓
  Kürzen.
  $=$ $\frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x}$
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2
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Mache den Nenner rational:
1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
  $\frac{1}{\sqrt{2}}$
  ↓
  Erweitere den Bruch mit $\sqrt{2}$ .
  $=$ $\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
  $=$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
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2. $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wurzeln
  $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
  ↓
  Erweitere den Bruch mit $\sqrt{5}$ .
  $=$ $\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{125}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
  ↓
  Multipliziere.
  $=$ $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{625}}{5}$
  ↓
  Ziehe die zweite Wurzel.
  $=$ $\frac{\sqrt{10} - 25}{5}$
  $=$ $\frac{\sqrt{10}}{5} - 5$
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$=$	$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{{(\sqrt{2})}^{2}}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\frac{5}{2 \sqrt{3}}$	$=$	$\frac{5 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$
	$=$	$\frac{5}{2 \cdot 3} \cdot \sqrt{3}$
	↓	Fasse zusammen
	$=$	$\frac{5}{6} \sqrt{3}$

$\frac{25}{\sqrt{125}}$	$=$	$\frac{25}{\sqrt{25 \cdot 5}}$
	↓	Teilweise radizieren.
	$=$	$\frac{25}{5 \sqrt{5}}$
	↓	Mit $\sqrt{5}$ erweitern.
	$=$	$\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
	$=$	$\frac{25 \cdot \sqrt{5}}{5 \cdot 5}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\sqrt{5}$

$\frac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{\sqrt{x y}}$	$=$	$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot \sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \cdot \sqrt{x y}}$
	$=$	$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x y} - \sqrt{y} \cdot \sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}}$
	↓	Die Quadratwurzel und das Quadrat heben sich auf.
	$=$	$\frac{{\sqrt{x}}^{2} \cdot \sqrt{y} - {\sqrt{y}}^{2} \cdot \sqrt{x}}{x y}$
	$=$	$\frac{x \sqrt{y} - y \sqrt{x}}{x y}$
	↓	Bruch auseinanderziehen.
	$=$	$\frac{x \sqrt{y}}{x y} - \frac{y \sqrt{x}}{x y}$
	↓	Kürzen.
	$=$	$\frac{\sqrt{y}}{y} - \frac{\sqrt{x}}{x}$

	$\frac{1}{\sqrt{2}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt{2}$ .
$=$	$\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}$
$=$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$

	$\frac{\sqrt{2} - \sqrt{125}}{\sqrt{5}}$
	↓ Erweitere den Bruch mit $\sqrt{5}$ .
$=$	$\frac{(\sqrt{2} - \sqrt{125}) \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$
	↓ Multipliziere.
$=$	$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{625}}{5}$
	↓ Ziehe die zweite Wurzel.
$=$	$\frac{\sqrt{10} - 25}{5}$
$=$	$\frac{\sqrt{10}}{5} - 5$

Aufgaben zum Rationalmachen von Nennern

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