Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen

Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstellen der gegebenen Funktionen.

$f(x)= \dfrac {(2-x)} {(x+3) (x-3)}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen

Nullstellen- und Definitionsmengenbestimmung bei gebrochen rationale Funktionen

Um die Nullstellen zu bestimmen, wird zunächst nur der Zähler bestrachtet.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2-x\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$
	↓	Setze den Zähler Null.
$\displaystyle \left(2-x\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Du kannst die Klammer hier weglassen.
$\displaystyle 2-x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Rechne auf beiden Seiten $- 2$ .
$\displaystyle 2-x-2$	$=$	$\displaystyle 0-2$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Multipliziere mit $- 1$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

Die einfache Nullstelle der Funktion $f (x)$ ist bei $x = 2$

Um die Definotionsmenge zu bestimmen wird zunächst nur der Nenner betrachtet.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left(2-x\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$
	↓	Setze den Nenner Null.
$\displaystyle \left(x+3\right)\left(x-3\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Betrachte jede Klammer für sich und setze sie Null. Dabei kannst du jeweils die Klammern weg lassen.
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Rechne auf beiden Seiten $- 3$
$\displaystyle x+3-3$	$=$	$\displaystyle 0-3$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

Wiederhole dies für die andere Klammer.

$x - 3 = 0$

$x - 3 + 3 = 0 + 3$

$x = 3$

Die Definitionsmenge beschreibt den Bereich in welchem die Funktion sich abbilden lässt. Die vorher ausgerechneten X-Werte $(x = 3$ und $x = - 3)$ zeigen die Stellen der Funktion, die nicht definiert sind, da der Nenner hier Null werden würde. Man nennt dies eine Definietionslücke.

Für alle anderen Werte ist der Nenner ungleich Null.

Deswegen ist die Defitionsmenge: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-3;3\}$

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